МОСКОВСЬКИЙ Державний технічний університет
В
В В В В
Курсова робота
В«Програма наближеного обчислення визначеного інтеграла за допомогою ф - ли Сімпсона на комп'ютері В»
Виконав:
студент ф - та ЕОУС - 1 - 12
Валюгін А. С.
Прийняв:
Зоткін С. П.
Москва 2001
1. Введення
Певний інтеграл від функції, що має Неелементарні первообразную, можна обчислити за допомогою тієї чи іншої наближеної формули. Для вирішення цієї завдання на комп'ютері, серед інших, можна скористатися формулами прямокутників, трапецій або формулою Сімпсона. У даній роботі розглядається саме остання.
Розглянемо функцію y = f (x). Будемо вважати, що на відрізку [a, b] вона позитивна і безперервна. Знайдемо площу криволінійної трапеції aABb (рис. 1). br/>В
рис. 1
Для цього розділимо відрізок [a, b] точкою c = (a + b)/2 навпіл і в точці C (c, f (c)) проведемо дотичну до лінії y = f (x). Після цього розділимо [a, b] точками p і q на 3 рівні частини і проведемо через них прямі x = p і x = q. Нехай P і Q - точки перетину цих прямих з дотичній. Поєднавши A з P і B з Q, отримаємо 3 прямолінійні трапеції aAPp, pPQq, qQBb. Тоді площа трапеції aABb можна наближено порахувати за наступною формулою
I В»(AA + pP)/2 * h + (pP + qQ)/2 * h + (qQ + bB)/2 * H, де h = (B - a)/3. br/>
Звідки отримуємо
I В»(b - a)/6 * (aA + 2 * (pP + qQ) + bB)
зауважимо, що aA = f (a), bB = f (b), а pP + qQ = 2 * f (c), у результаті отримуємо малу фор - лу Сімпсона
В В
I
В» (b - a)/6 * (f (a) + 4 * f (c) + f (b)) (1) В В В В В В
В
Мала формула Сімпсона дає інтеграл з хорошою точністю, коли графік підінтегральної функції мало зігнутий, у випадках ж, коли дана більш складна функція мала формула Сімпсона непридатна. Тоді, щоб порахувати інтеграл заданої функції потрібно розбити відрізок [a, b] на n частин і до кожного з відрізків застосувати формулу (1). Після зазначених вище дій вийде "велика" формула Сімпсона, яка має вигляд,
I В» h/3 * (Y < span> кр + 2 * Y неп + 4 * Y чет ) (2)
В В В В В В
де Yкр = y1 + Yn, Yнеч = Y3 + y5 + ... + yn - 1, yчета = y2 + ...
