Курсова робота
В«Чисельні методи в економіці В»
Тема: В«Ітераційний метод вирішення проблеми власних значень В»
В
Новосибірськ, 2010
Введення
У даній курсовій роботі розглянуто ітераційний метод вирішення проблеми власних значень. Збіжність ітераційного процесу може бути дуже повільною. Причиною цього є наявність нелінійного елементарного дільника, відповідного першого власному числу. Інша причина - це близькість другого власного числа до першого. У цьому випадку можна прискорити збіжність кількома методами. Одним з них є метод скалярних творів, який розглянуто в даній роботі.
У методі скалярних творів число ітерацій, необхідних для визначення максимального власного числа матриці, з даною точністю, скорочується майже вдвічі.
математичний ітераційний метод програмний
В
1. Математична постановка задачі
Цей метод особливо зручний у застосуванні до симетричної матриці, проте спробуємо викласти його без цього припущення. В основі методу лежать послідовності ітерацій вектора Y 0 матрицями A і A ', транспонованою з А. Ці послідовності мають наступний вигляд:
Y 0 , Y 1 = A * Y 0 , Y 2 = A 2 * Y 0 , ..., Y k = A k * Y 0 , ... (1)
Y 0 , Y ' 1 = A' * Y 0 , Y ' 2 = A' 2 * Y 0 , ..., Y ' k = A' k * Y 0 , ... (2)
Нехай b 1 , ..., B n координати вектора Y 0 в базисі X ' 1 , ..., X ' n , a 1 , ..., a n координати Y 0 в базисі X 1 , ..., X n . При цьому припустимо, що базиси вибрані так, що система векторів X 1 , X 2 , ..., X n і X ' 1 , ..., X' n задовольняє умовам ортогональності та нормованості.
Утворюємо скалярний твір (Y ' k , Y k ):
(Y ' k , Y k ) = (A ' k * Y 0 , A k * Y 0 ) = (Y 0 , A 2k * Y 0 ) = (b 1 * X ' 1 + ... + b n * X ' n , a 1 * l 2k 1 * X 1 + ... + + A n * l 2k n * X n )
Далі чинності властивостей ортогональності та нормованості системи векторів маємо:
(Y ' k , Y k
