ГЛАВА 1
ЛАВ І ІНТЕГРАЛ ФУР'Е
В
Основні відомості
Функція f (x), визначена на всій числовій осі називається періодичною, якщо існує таке число, що при будь-якому значенні х виконується рівність. Число Т називається періодом функції. p> Відзначимо деякі з в о й с т в а цієї функції:
1) Сума, різниця, добуток і частка періодичних функцій періоду Т є періодична функція періоду Т.
2) Якщо функція f (x) період Т, то функція f (ax) має період.
3) Якщо f (x) - періодична функція періоду Т, то рівні будь-які два інтеграла від цієї функції, взяті за проміжкам довжини Т (при цьому інтеграл існує), тобто за будь-яких a і b справедливо рівність.
В
Тригонометричний ряд. Ряд Фур'є
Якщо f (x) розкладається на відрізку в рівномірно збіжний тригонометричний ряд:
(1)
, то це розкладання єдине і коефіцієнти визначаються за формулами:
, де n = 1,2,. . . p> Тригонометричний ряд (1) розглянутого виду з коефіцієнтами називається тригонометричним рядом Фур'є, а коефіцієнтами ряду Фур'є.
Достатні ознаки разложимости функції в ряд Фур'є
Точка розриву функції називають точкою розриву першого роду, якщо існує кінцеві межі праворуч і ліворуч цієї функції в даній точці.
ТЕОРЕМА 1 (Діріхле). Якщо періодична з періодом функція безперервна або має кінцеве число точок розриву 1-ого роду на відрізку [] і цей відрізок можна розбити на кінцеве число частин, в кожному з яких f (x) монотонна, то ряд Фур'є щодо функції сходиться до f (x ) в точках безперервності і до середньоарифметичному односторонніх меж у точках розриву роду (Функція задовольняє цим умовам називається кусково-монотонною).
ТЕОРЕМА 2. Якщо f (x) періодична функція з періодом, яка на відрізку [] разом зі своєю похідною безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду, то ряд Фур'є функції f (x) в точках розриву до середнього арифметичного односторонніх меж (Функція задовольняє цій теоремі називається кусково-гладкою).
В
Ряди Фур'є для парних і непарних функцій
Нехай f (x) - парна функція з періодом 2L, що задовольняє умові f (-x) = f (x).
Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:
=
=
= 0, де n = 1,2,. . . p> Таким чином, у ряді Фур'є для парної функції відсутні члени із синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2L виглядає так:
Нехай тепер f (x) - непарна функція з періодом 2L, що задовольняє умові f (-x) = - f (x).
Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:
, де n = 1,2,. . . p> Таким чином, у ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2L виглядає так:
Якщо функція f (x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку то
, де,
,...
