,
Якщо f (x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0, L], то Довизначивши задану функцію f (x) відповідним чином на [-L, 0]; далі періодично продовживши на (T = 2L), одержимо нову функцію, яку розкладаємо в тригонометричний ряд Фур'є.
Для розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку [a, b], треба: довизначити на [b, a +2 L] і періодично продовжити, або довизначити на [b-2L, a] і періодично продовжити .
В
Ряд Фур'є по будь ортогональній системі функцій
В
Послідовність функцій неперервних на відрізку [a, b], називається ортогональною системою функції на відрізку [a, b], якщо всі функції послідовності попарно ортогональні на цьому відрізку, тобто якщо
Система називається ортогональної і нормованої (ортонормованій) на відрізку [a, b],
якщо виконується умова
Нехай тепер f (x) - будь-яка функція безперервна на відрізку [a, b]. Поруч Фур'є такої функції f (x) на відрізку [a, b] по ортогональній системі називається ряд:
коефіцієнти якого визначаються рівністю:
n = 1,2, ...
Якщо ортогональна система функцій на відрізку [a, b] ортонормированного, то в цьому випадки
В
де n = 1,2, ...
Нехай тепер f (x) - будь-яка функція, безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [a, b]. Поруч Фур'є такої функції f (x) на томже відрізку
по ортогональній системі називається ряд:
,
В
Якщо ряд Фур'є функції f (x) за системою (1) сходиться до функції f (x) в кожній її точці безперервності, що належить відрізку [a, b]. У цьому випадку говорять що f (x) на відрізку [a, b] розкладається в ряд по ортогональній системі (1). <В
Комплексна форма ряду Фур'є
Вираз називається комплексною формою ряду Фур'є функції f (x), якщо визначається рівністю
,
де
Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і назад здійснюється за допомогою формул:
(n = 1,2, ...)
В
Задача про коливання струни
В
Нехай у стані рівноваги натягнута струна довгої l з кінцями x = 0 і x = l. Припустимо, що струна виведена зі стану рівноваги і робить вільні коливання. Будемо розглядати малі коливання струни, що відбуваються у вертикальній площині. p>
При зроблених вище припущеннях можна показати, що функція u (x, t), яка характеризує положення струни в кожний момент часу t, задовольняє рівнянню
(1), де а - позитивне число.
Наша із а д а ч а - знайти функцію u (x, t), графік якої дає форму струни в будь-який момент часу t, тобто знайти рішення рівняння (1) при граничних:
(2)
і початкових умовах:
(3)
Спочатку будемо шукати рішення рівняння (1), що задовольняють граничним умовам (2). Неважко побачити, що u (x, t) 0 є рішенням рівняння (1), що задовольняють граничним умовам...
