Власні значення.
1. ВСТУП
Цілий ряд інженерних задач зводиться до розгляду систем рівнянь, що мають єдине рішення лише в тому випадку, якщо відомо значення деякого вхідного в них параметра. Цей особливий параметр називається характеристичним, або власним, значенням системи. З завданнями на власні значення інженер стикається в різних ситуаціях. Так, для тензорів напруг власні значення визначають головні нормальні напруги, а власними векторами задаються напрями, пов'язані з цими значеннями. При динамічному аналізі механічних систем власні значення відповідають власним частотам коливань, а власні вектори характеризують моди цих коливань. При розрахунку конструкцій власні значення дозволяють визначати критичні навантаження, перевищення яких призводить до втрати стійкості.
Вибір найбільш ефективного методу визначення власних значень або власних векторів для даної інженерної завдання залежить від ряду факторів, таких, як тип рівнянь, число шуканих власних значень і їх характер. Алгоритми розв'язання задач на власні значення поділяються на дві групи. Ітераційні методи дуже зручні і добре пристосовані для визначення найменшого та найбільшого власних значень. Методи перетворень подібності кілька складніша, зате дозволяють визначити всі власні значення і власні вектори.
У даній роботі будуть розглянуті найбільш поширені методи розв'язання задач на власні значення. Однак спочатку наведемо деякі основні відомості з теорії матричного і векторного числень, на яких базуються методи визначення власних значень.
2. ДЕЯКІ ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ, НЕОБХІДНІ ПРИ ВИРІШЕННІ ЗАВДАНЬ НА ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ
У загальному вигляді задача на власні значення формулюється таким чином:
AX = lX,
де A - матриця розмірності n х n. Потрібен знайти n скалярних значень l і власні вектори X, відповідні кожному з власних значень.
Основні визначення матричного числення
1. Матриця A називається симетричною, якщо
аij = аij, де i, j = 1, 2,. . ., N. p> Звідси випливає симетрія відносно діагоналі
аkk, де k == 1, 2,. . ., N. p> Матриця
1
