Знаходження власних значень методом Леверрье
Введення
математичний Леверрье значення
В даний час обчислювальна математика і суміжні з нею розділи привертають велику увагу фахівців різних галузей науки і техніки, будучи ефективним апаратом формалізації сучасних інженерних завдань. Обчислювальна математика це наука про методи вирішення обчислювальних завдань на ЕОМ. Вона з'явилася від необхідності вирішувати практичні завдання, такі, як управління складними технологічними процесами, управління польотом ракет, моделювання фізичних процесів (процесу ядерного розпаду, хімічних реакцій, росту кристалів та ін.).
Завданнями на визначення власних значень і власних векторів інженер стикається в різних ситуаціях. Так, при аналізі напруженого стану конструкції для тензорів напруг власні значення визначають головні нормальні напруження, а власними векторами задаються напрями, пов'язані з трійкою значень головних напружень. При динамічному аналізі механічних систем, наприклад, при модальному аналізі вібрацій власні значення відповідають власним частотам коливань, а власні вектори характеризують деформацію конструкції, відповідну кожної власній частоті коливань. При розрахунку конструкцій на стійкість власні значення дозволяють визначати критичні навантаження, перевищення яких призводить до втрати стійкості.
1. Власні значення і власні вектори
математичний Леверрье значення
Завдання знаходження власних значень і відповідних їм власних векторів виникають в самих різних наукових завданнях. Наприклад, при аналізі динамічних систем власні значення визначають частоти коливань, а власні вектори характеризують їх форму. У електро-радіотехнічних пристроях власні значення матриць визначають характеристичні постійні часу і режими роботи цих пристроїв.
1.1 Математичне обгрунтування методу
Розглянемо квадратну матрицю n-ого порядку:
Власні значення li квадратної матриці A є дійсні або комплексні числа, що задовольняють умові:
,
E - одинична матриця,
- власний вектор матриці A, відповідний деякого власному значенню l.
Матриця називається характеристичною матрицею матриці A. Т.к. в матриці по головній діагоналі стоять l, а всі інші елементи дорівнюють нулю, то характеристична матриця має вигляд:
Визначник цієї матриці називається характеристичним визначником і дорівнює:
У розгорнутому вигляді він є многочленом n-ой ступеня щодо l, тому при обчисленні цього визначника твір елементів головної діагоналі дає многочлен зі старшим членом, тобто
і називається характеристичним многочленом . Коріння цього многочлена - власні значення або характеристичні числа матриці A. Числа називаються коефіцієнтами характеристичного многочлена.
Ненульовий вектор називається власним вектором матриці A, якщо ця матриця переводить вектор X у вектор
,
т.е. твір матриці A на вектор X і твір характеристичного числа l на вектор X є один і той же вектор. Кожному власному значенню матриці відповідає свій власний вектор.
Для визначення координат власного вектора складається характеристичне рівняння:. Переписавши його у векторному вигляді і виконавши множення, одержимо систему лінійних однорідних рівнянь:
Визначник цієї системи дорівнює нулю, тому з цієї умови були визначені власні значення матриці A. Отже, система має нескінченну безліч рішень. Її можна вирішити з точністю до постійного множника (як систему однорідних рівнянь). Вирішивши цю систему, ми знайдемо всі координати власного вектора X. Підставляючи в систему однорідних рівнянь почергово, отримуємо n власних векторів.
При визначенні власних значень і належних їм власних векторів вирішується одне і двох завдань:
Визначення все власних значень і належних їм власних векторів матриць;
Визначення одного або декількох власних значень і належних їм власних векторів.
Перше завдання полягає в розгортанні характеристичного визначника в многочлен n-го ступеня (тобто у визначенні коефіцієнтів) з подальшим обчисленням власних значень і, нарешті, у визначенні координат власного вектора.
Друге завдання полягає у визначенні власних значень ітераційними методами без попереднього розгортання характеристичного визначника (метод ітерацій). Методи першого завдання (метод Данилевського, метод Леверрье-Фаддеева) відносяться до точних, тобто якщо їх застосувати для матриць, елементи ...
