Навчально-дослідна робота
В« Переслідування на площині В»
Введення
В
Полягає завдання в дуже простої речі. Є переслідувачі, один або група, і є хтось, хто намагається від них втекти. А нам важливо зрозуміти - це дуже просто тікати і наздоганяти або це можна робити безліччю способів відрізняються один від одного ефективністю. І чи важко знайти найбільш ефективний (або оптимальний) спосіб погоні або навпаки втечі.
Перш ніж приступати до аналізу розглянемо ситуацію, яка на перший погляд здається простою. Нехай деякий шматок площині огороджений парканом у формі кола і в цьому загоні лисиць намагається зловити кролика який бігає дещо швидше лисиця. Очевидно, що у Лисиця не було б жодних шансів, якби кролик мав можливість бігти по прямій. У цьому випадку при будь-якої стратегії поведінки лисиця відстань між ними б тільки збільшувалася. Стіна може бути причиною по якій кролику доведеться розвернутися і побігти в бік лисиця і тут для лисиця виникає унікальна можливість зловити кролика.
Однак ця можливість реальна тільки для дуже спеціальної форми майданчики і при не дуже розумному поведінці кролика. Але і при найпростішій формі - кола у лисиця є цікава можливість не відстати від кролика навіть при істотному відмінності у швидкостях. Покажемо, як він може це здійснити.
Попереднє зауваження. Мета кролика знаходитися якомога далі від лисиця. З цього випливає, що при необхідності зміни напрямку кролик повинен здійснювати цю переміну так, щоб його напрямок руху становило не гострий кут з напрямком руху лисиця (інакше він почне зближення). Необхідність же зміни напрямки виникає при загрозі зіткнення зі стінкою. Максимально тупий кут кролик може забезпечити собі, рухаючись вздовж стінки. Звідси випливає, що при заборі що має форму кола оптимально для кролика бігти по колу як можна більшого радіуса, тобто вздовж стіни.
Як же в цьому випадку вести себе лисицю. Припустимо, що у лисиця швидкість в два рази менше. Тоді якщо він буде бігти по колу центр якої буде збігатися з центром окружності кролика але довжина її буде в два рази менше, то за одне і теж час і кролик і лисиць оббегут повну окружність і отже в кожен момент часу відстань між ними буде дорівнює різниці Rк - Rл тобто незалежним від часу. Що і потрібно було довести. p> Цікаве питання. Отже, ми з'ясували, що один лис може не відстати від кролика, чи не означає, що група лисиць (і може бути навіть не дуже велика) в стані кролика зловити.
Даний приклад був покликаний показати, що завдання НЕ тривіальна і потребує ретельного дослідження, яким ми далі і займемося. А для початку сформулюємо ще раз мета дослідження:
Головна мета: З'ясувати, чи існує оптимальна стратегія як для тікає, так і для наздоганяючого і якщо так то, як її побудувати. А оптимальна стратегія - це така стратегія, яка гарантує найкращий результат незалежно від поведінки противника
Для того щоб побудувати яку теорію, ми повинні строго описати основні поняття і об'єкти, а також сформулювати якісь основні твердження які служитимуть апаратом для отримання нового знання.
1 Основні поняття
Гра на переслідування, тікає гравець, група переслідувачів - Це основні поняття, їх зміст ясний інтуїтивно.
Простий рух. Простим рухом називається такий рух, при якому відстань пройдена гравцем є лінійною функцією від часу s (t) = kt. Для тих, хто добре вивчав фізику ця формула можливо асоціюється з рівномірним, прямолінійним рухом. Однак це зовсім не обов'язково. Дана формула може описувати рух, в якому вектор (а наша формула скалярна, а не векторна) швидкості з плином часу змінює напрямок, але не змінює свого модуля.
Гра на переслідування з простим рухом. Така гра - це гра в якій рух будь-якого гравця - це простий рух
Рішення гри. Знайти рішення гри - значить визначити оптимальну стратегію для всіх учасників гри і знайти оптимальний час переслідування.
Оптимальний час переслідування. Час T переслідування називається оптимальним якщо виконуються наступні умови:
1. При будь-якому поведінці тікає гравця існує спосіб поведінки переслідувачів гарантує зустріч хоча б одного з переслідувачів з втікаючим гравцем пізніше часу T.
2. Для тікає гравця існує спосіб поведінки, що гарантує неможливість зустрічі з переслідувачами раніше часу T.
Гарантійний час переслідування. Якщо для часу Т виконано тільки перше з умов описаних для оптимального часу переслідування, то час Т це гарантований час переслідування.
Гра з лінією життя. Нехай область, в якій відбувається гра представляє собою опуклу область. Її межа називається лінією життя, а гра відповідно грою з лінією життя, я...
