кщо мета тікає гравця - досягти лінії життя, а мета переслідувачів відповідно не допустити цієї події.
Безліч досяжності - це область площині кожну точку якій гравець може досягти не пізніше ніж за час Т рухаючись з якої-небудь траєкторії за законом простого руху.
Зони тікання і зони зустрічі. Зона тікання - це безліч точок площини в яких для тікає гравця є траєкторія тікання від переслідувачів. Відповідно зона зустрічі - це безліч точок в яких не існує траєкторії тікання.
2 Кілька важливих тверджень
Затвердження Перше: Безліч досяжності являє собою коло.
Доказ: Ясно, що найбільш віддалена точка безлічі досяжності (віддалена від вихідної) це точка до якої гравець рухається по прямій. Побудуємо безліч всіх прямих проходять через вихідну крапку. У силу однорідності властивостей площині рух уздовж однієї з цих прямих нічим не відрізняється від руху вздовж іншої прямої з чого випливає, що на кожній з прямих найбільш віддалена точка безлічі досяжності знаходиться на однаковій відстані від вихідної точки. А геометричне безліч точок знаходяться на однаковій відстані від якогось центру називається колом. У свою чергу геометричне місце точок обмежених окружністю називається колом, що й потрібно було довести.
Затвердження друге. Нехай тікає гравець знаходиться в деякій точці, яку ми назвемо вихідної. Побудуємо всі можливі прямі через вихідну точку. Нехай далі переслідувач знаючи напрямок руху тікає гравця, рухається по прямий забезпечує зустріч за мінімальної час. Тоді безліч усіх точок зустрічі являє собою коло.
В В В В
A
В br/>
Позначення:
P - Переслідувач
E - Тікає гравець
A - Точка Аполону
M - Точка зустрічі
Ця коло називається колом Аполону, а точка А (найбільш віддалена точка на прямій PE) називається точкою Аполону. p> Доказ: Позначимо через vp - швидкість переслідувача, а через ve швидкість тікає гравця, тоді ve * | EM | = vp * | PM |. Виберемо на площині систему координат x0y таким чином, щоб E (0) = (0,0), P = (0, - b), тоді
| EM | = Г– x 2 + y 2 | PM | = Г– x 2 + (y + b) < sup> 2
В
Підставивши цей вираз в перший співвідношення отримуємо
В
ve * Г– x 2 + y 2 = vp * Г– x 2 + (y + b) 2 .
Зведемо обидві частини в квадрат і отримаємо
ve 2 * [x 2 + y 2 ] = vp 2 * [x 2 + (y + b) 2 ]
(ve 2 - vp 2 ) * x 2 + (ve 2 - vp 2 ) * y 2 - 2 * b * vp 2 * y = b 2 * vp 2
В
Розділимо цей вираз на (ve 2 - vp 2 ) згрупуємо. Отримаємо наступне:
x 2 + (y - b * vp 2 /(ve 2 - Vp 2 )) 2 = (ve * vp * b) 2 /(ve 2 - vp < sup> 2 ) 2
Це і є рівняння кола, що й потрібно було довести.
Окружність Аполону і крапка Аполону являють собою дуже важливі об'єкти, що мають саме серйозне застосування в теорії переслідування на площині. З їх допомогою можна оцінювати різні величини, що характеризують процес переслідування і отримувати траєкторії руху гравців. Наведемо на підтвердження кілька маленьких теорем. p> Теорема 1: Нехай тікає гравець і переслідувач переміщуються по своїх напівпряму. Їхнє становище залежить від часу. Позначимо його через P (t), E (t) тоді будь-який відрізок [P (t), E (t)] паралельний відрізку [P (0), E (0)]. На малюнку внизу ці відрізки виділені:
Теорема 2: Нехай тікає гравець рухається по прямий перетинає окружність Аполону в точці М, рух починається з точки Е зі швидкістю V. Тоді переслідувач не може зустрінеться з втікаючим раніше ніж за час рівне | EM |/V
Значення цієї теореми важко переоцінити, так як вона стверджує, що окружність Аполону - це геометричне місце точок у яких відбувається гарантована зустріч при оптимальному поведінці обох гравців. Не раніше і не пізніше. А так як оптимальний час переслідування одна з головних цілей аналізу теорії, то стає зрозумілим, чому потрібно вміти будувати окружність Аполону
3 Стратегія паралельного зближення
А тепер розглянемо приклад стратегії гонитви. Мета стратегії паралельного зближення полягає в тому, щоб забезпечити переслідувачеві максимальне зближення з втікаючим гравцем. Нижче на зображенні показані можливі траєкторії переслідувача і...
