Контрольна робота № 2
Варіант 4
Анастасія Рафальська
.02.11
Задача 1
Знайти рішення диференціальних рівнянь першого порядку з відокремлюваними змінними.
В
Рішення. Перепишемо дане рівняння у вигляді
В В
Поділяємо змінні:
В
Тепер інтегруємо обидві частини отриманого рівності:
В
Це і є шукане загальне рішення рівняння.
Задача 2
Знайти приватне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку, яке задовольняє вказаному початковій умові.
В
Рішення. Перепишемо вихідне рівняння у вигляді
В
а шукану функцію представимо у вигляді добутку двох інших:. Тоді
В
Або
У цьому випадку вихідне рівняння зводиться до вигляду
В
Інтегруючи, одержуємо
В
А рішення вихідного рівняння прийме вигляд:
. (*) p> Виберемо константу в (*) так, щоб виконувалася додаткову умову.
Отже,.
Таким чином, шукане приватне рішення має вигляд:
В
Задача 3
Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0.001 шляхом попереднього розкладання підінтегральної функції в ряд і почленного інтегрування цього ряду.
Рішення. У розкладанні функції в статечної ряд
В
замінимо x на. Тоді отримаємо
В
Примножуючи цей ряд почленно на, матимемо
В
Отже,
В В
Отриманий числовий Знакозмінні ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца. Восьмий член цього ряду за абсолютною величиною менше, тому для забезпечення необхідної точності потрібно підсумувати перші сім членів ряду і результат округлити до 0,001. Отже,
В
Задача 4
Студент знає відповіді на 15 з 20 питань програми. Яка ймовірність того, що він знає відповіді на всі три питання, запропоновані екзаменатором. p align="justify"> Рішення. Розглянемо події:
{студент знає відповідь на перше питання};
{студент знає відповідь на друге питання};
{студент знає відповідь на третє питання}.
Тоді
В
Ймовірність того, що друге питання виявиться для студента відомим, за умови, що він зміг правильно відповісти на перше питання, тобто умовна ймовірність події , дорівнює
В
Ймовірність того, що третім буде відібраний знайомий питання, за умови, що вже відібрані два знайомих питання, тобто умовна ймовірність події, дорівнює
В
Шукана ймовірніс...
