Метод Мілна
Одним з найбільш простих і практично зручних методів чисельного рішення диференціальних рівнянь є метод Мілна. Метод Мілна відноситься до багатокроковим методам і представляє один з методів прогнозу і корекції. Рішення в такій точці знаходиться у два етапи. На першому етапі здійснюється за спеціальною формулою прогноз значення функції, а потім на другому етапі - корекція отриманого значення. Якщо отримане значення у після корекції істотно відрізняється від спрогнозованого, то проводять ще один етап корекції. Якщо знову має місце суттєва відмінність від попереднього значення (тобто від попередньої корекції), то проводять ще одну корекцію і т.д. Однак дуже часто обмежуються одним етапом корекції. p align="justify"> Нехай дано рівняння:
'= f (x, y) (1)
з початковою умовою (x0) = y0 (2)
Вибравши, крок h покладемо
xi = x0 + ih, yi = y (xi), = f (x, y) (i = 0, 1, 2, ...).
Перші 4 значення початкового відрізка y0, y1, y2, y3 знаходимо, застосувавши метод Рунге-Кутта. Тим самим будуть відомі y'i (i = 0, 1, 2, 3). p> Подальші значення yi = y (xi) (i = 4, 5, 6, ...) визначаються за такою схемою:
) обчислюємо перше наближення за формулою
(i = 4, 5, 6, ...) (3)
) значення підставляємо в (1) і визначаємо
) знаходимо друге наближення за формулою
(i = 4, 5, 6, ...) (4)
Мілн прогноз корекція помилка
Мілн показав, що абсолютна похибка значення наближено pавна:
(5)
Тому, якщо, де? - Задана гранична похибка рішення, то можна покласти і .
Далі переходимо до обчислення наступного значення, повторюючи зазначену вище схему. У разі, якщо точність? не забезпечена, слід зменшити крок h і зробити перерахунок.
Зауваження:
Сумарна помилка методу Мілна є величина порядку Метод Мілна не володіє стійкістю, тому його рекомендують використовувати, коли передбачуване число кроків не велике.
Дано рівняння з початковою умовою. Знайдемо методом Мілна наближене значення рішення в точці з точністю до
Рішення
Метод Мілна має глобальну помилку, це означає, що взявши, отримаємо похибка результату порядку, таким чином, задана точність практично досягається.
(з початкової умови)
Значення знайдемо явним методом Ейлера.
В В В
Знайдемо значення, і
В В В
Далі використовуємо метод Мілна.
В В В В В
Перевірка:
В В В В
Будемо заносити результати розрахунків у таблицю
0 - 1 - 2 - 3
