Читинський Державний Університет
Енергетичний інститут
Факультет економіки та інформатики
Кафедра прикладної інформатики та математики
Реферат
з дисципліни: Чисельні методи
на тему: Метод Ньютона (метод дотичних). Рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
Виконала: ст. гр. ПІ - 07-1
Злов В.В.
Чита, 2009
Зміст
Введення
1. Метод Ньютона
1.1 Геометрична інтерпретація методу Ньютона
1.2 Алгоритм рішення задач за допомогою методу Ньютона
1.3 Приклади розв'язання рівнянь за допомогою методу Ньютона
2. Рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
2.1 Метод ітерацій
2.1.1 Приклад рішення системи рівнянь за допомогою методу ітерацій
2.2 Метод Ньютона
2.2.1 Приклад рішення системи рівнянь за допомогою методу Ньютона
2.3 Метод спуску
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Метод Ньютона (також відомий як метод дотичних) - це ітераційний чисельний метод знаходження кореня заданої нелінійної функції. Метод був вперше запропонований англійським фізиком, математиком і астрономом Ісааком Ньютоном (1643-1727), під ім'ям якого і знайшов свою популярність. Пошук рішення здійснюється шляхом побудови послідовних наближень і заснований на принципах простої ітерації. Метод має квадратичної збіжністю. Поліпшенням методу є метод хорд і дотичних.
Що ж стосується систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, то ітераційні методи вирішення даних систем набувають особливої ??актуальності, у зв'язку з тим, що до них на відміну від систем лінійних рівнянь неможливо застосувати прямі методи рішення. Лише в окремих випадках систему можна вирішити безпосередньо.
1. Метод Ньютона
. 1 Геометрична інтерпретація методу Ньютона
Цей метод застосовується, якщо рівняння f (x)=0 має корінь x? [a; b], і виконуються умови:
) функція y=f (x) визначена і неперервна при x? (-?; +?)
) f (a)? f (b) lt; 0 (функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка [a; b]);
) похідні f? (x) і f? (x) зберігають знак на відрізку [a; b] (тобто функція f (x) або зростає, або убуває на відрізку [a; b], зберігаючи при цьому напрямок опуклості).
) f? (x)? 0 при x? [a; b]
Основна ідея методу полягає в наступному: на відрізку [a; b] вибирається таке число x 0, при якому f (x 0) має той же знак, що і f? (x 0), т. е. виконується умова f (x 0)? f? (x) gt; 0. Таким чином, вибирається точка з абсцисою x 0, в якій дотична до кривої y=f (x) на відрізку [a; b] перетинає вісь Ox. За точку x 0 спочатку зручно вибирати один з кінців відрізка.
Нехай нам дана деяка функція f (x)=0 на відрізку [a, b]. Можливо 4 випадки:
- f (a) -f (b) lt; 0; f? (x) gt; 0; f? (x) gt; 0
f (a) -f (b) lt; 0; f? (x) gt; 0; f? (x) lt; 0
f (a) -f (b) gt; 0; f? (x) lt; 0; f? (x) gt; 0
- f (a) -f (b) gt; 0; f? (x) lt; 0; f? (x) lt; 0
Рис. 1
Розглянемо метод Ньютона на першому випадку.
Нехай нам дана зростаюча функція y=f (x), безперервна на відрізку [a; b], і має f? (x) gt; 0 і f? (x) gt; 0. Рівняння дотичної має вигляд: y-y0=f? (x 0)? (x-x 0). В якості точки x0 вибираємо точку B (b; f (b)). Проводимо дотичну до функції y=f (x) в точці B, і позначаємо точку перетину дотичної і осі Ox точкою x 1. Потім знаходимо точку перетину функції y=f (x) і перпендикуляра, проведеного до осі Ox через точку x1, отримуємо точку b 1. Знову проводимо дотичну до функції y=f (x) в точці b 1, і позначаємо точку перетину дотичної і осі Ox точкою x2. Потім знаходимо точку перетину функції y=f (x) і перпендикуляра, проведеного до осі Ox через точку x 2, отримуємо точку b 2.
Перше наближення кореня визначається за формулою:
.
Друге наближення кореня визначається за формулою:
.
Таким чином, i-е наближення кореня визначається за формулою:
Обчислення ведуться до тих пір, поки н...
