Міністерство освіти РФ
Рязанська державна радіотехнічна академія
Кафедра ОіЕФ
Контрольна робота
В«Визначення моментів інерції тіл методом тріфілярного підвісу В»
Виконав Ампілогов Н.В.
Перевірив Малютін А.Є.
Рязань 2002
Мета роботи
Визначити момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр його мас, експериментально перевірити адитивність моменту інерції і теорему Штейнера.
Прилади й приналежності: тріфілярний підвіс, секундомір, штангенциркуль, лінійка набір тел.
Елементи теорії
Момент інерції тіла є мірою його інерції при обертальному русі і залежить не тільки від маси даного тіла, а й від розподілу даної маси щодо осі обертання.
Момент інерції матеріальної тачки (I) щодо деякої осі дорівнює:
I = mr2, де m - маса матеріальної точки; r - відстань від точки до осі обертання.
У силу аддитивности моменту інерції можна записати вираз:
,
де Ik - момент інерції k-ої частини обертається системи; N - число частин під обертається системі.
Для протяжних тіл момент інерції визначається, як сума моментів інерції окремих елементарних обсягів (dV), на які можна розбити дане тіло і які можна вважати матеріальними точками:
,
де dm = rdV - маса елементарного обсягу; r - Щільність тіла в даній точці. Для однорідних тіл, у яких r - const:
.
Так, момент інерції однорідного круглого пустотілого циліндра або диска масою m з внутрішнім радіусом R2 щодо осі, що збігається сього геометричною віссю, розрахований за допомогою формули (4), дорівнює:
.
Тоді:
для суцільного циліндра, у якого R1 = 0, R2 = R.
;
для тонкого кільця, у якого R1 = R2 = R
I = mR2.
Згідно визначенню моменту інерції одне і те ж тіло щодо різних осей володіє різними моментами інерції, які можуть бути знайдені за теоремою Штейнера:
8) I = I0 + ma2, де I0-момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла; I - момент інерції того ж тіла відносно осі, паралельної попередньої і зміщеною на відстань a від неї; m - маса тіла.
У даній роботі потрібно визначити момент інерції ненавантаженої платформи і платформи з досліджуваними тілами, що дозволяє знайти момент інерції самих тіл і провести перевірку аддитивности моменту інерції, а так само переконатися у справедливості теореми Штейнера. Для цього в ній використовується метод тріфілярного підвісу. p> Після одноразового виведення даної системи (підвісу або підвісу з вантажем) з положення стійкої рівноваги, поворотом на деякий кут a, система починає здійснювати довільні коливання, період яких залежить моменту інерції системи, а отже і від її маси. Таким чином повну механічну енергію даної системи (E) в довільний момент часу t (і нехтуючи тертям) можна записати так:
,
де J - момент інерції системи, що з платформи і встановленого на ній досліджуваного твердого тіла; w = da/dt - кутова швидкість системи при повороті її на кут a; M - маса системи (Платформи з вантажем або без оного). У формулі (9) - кінетична енергія обертального руху системи, - потенційна енергія системи. При (z - z0) - є невелика висота, на яку підводиться система при обертанні чинності перекосу ниток на яких змонтований тріфілярний підвіс (z0 - висота спочиває платформи; z - висота платформи, що здійснює крутильні коливання, в довільний момент часу).
У наданому після цього самому собі пристрої почнуть відбуватися крутильні коливання, період яких залежить від моменту інерції підвішеною системи. Момент інерції, а отже, і період коливань будуть змінюватися, якщо платформу навантажувати-якими тілами.
Координати точки А1 верхнього диска в системі координат, зазначеної на малюнку, рівні: х1 = r; y1 = 0; z1 = 0. Координати ж точки А кріплення нижньої платформи до нитки підвісу в момент часу, коли платформа повернулася на малий кут a, рівні, відповідно,
x = R Г— cos (a); у = R Г— sin (a); z = z.
Відстань між точками А і А1 дорівнює довжині нитки підвісу (l), і оскільки при коливаннях платформи довжина ниток не змінюється, то в будь-який момент часу справедливо співвідношення:
.
З урахуванням зазначених вище координат точок А і А1 на підставі (11) можна написати для довільного значення кута а повороту такий вираз:
.
Якщо a = 0, то
.
Тут x = R; у = 0; z = z0 - координати точки А нижній платформи в момент часу, коли a = 0. Прирівнюючи вирази (12) і (13) і розкриваючи дужки, отримуємо:
В
Так як кут a малий, то...
