Спектральні характеристики
В В В
Демидов Р.А., ФТФ, 2105
Введення
У першій частині роботи я поставив собі мету описати лінійні оператори в цілому, а також детально розповісти про важливу характеристиці спектру операторів - спектральному радіусі.
У цій частині роботи я докладніше зупинюся на не менш важливою характеристиці спектрів - резольвент, і розповім про зв'язок цієї характеристики з підвидами спектру оператора - з залишковим, точковим і безперервними його частинами. Спочатку, знову ж таки, необхідно зупинитися на деяких основних визначеннях і поняттях теорії лінійних операторів. Отже:
- Нехай A - оператор, який діє в скінченновимірному лінійному просторі E. Спектром оператора називається безліч всіх його власних значень.
- Квадратну матрицю n Г— n можна розглядати як лінійний оператор в n-вимірному просторі, що дозволяє перенести на матриці В«операторніВ» терміни. У такому випадку говорять про спектрі матриці .
- Нехай A - оператор, який діє у банаховому просторі E над полем k. Число О» називається регулярним для оператора A, якщо оператор R (О») = (A - О»I) -1 , званий резольвенти оператора A, визначений на всім E і неперервний. p> - Безліч регулярних значень оператора A називається резольвентних безліччю цього оператора, а доповнення резольвентних безлічі - спектром цього оператора.
- Максимум модулів точок спектру оператора A називається спектральним радіусом цього оператора і позначається через r (A). При цьому виконується рівність:
В
Це рівність може бути прийнято за визначення спектрального радіусу, приусловии існування даної межі.
Тепер розглянемо склад самого спектру. Він неоднорідний, і складається з наступних частин:
- дискретний (точковий) спектр - безліч всіх власних значень оператора A - тільки точковий спектр присутній у скінченновимірному випадку;
- безперервний спектр - безліч значень О», при яких резольвента (A - О»I) -1 визначена на усюди щільному безлічі в E, але не є безперервною;
- залишковий спектр - безліч точок спектру, не входять ні в дискретну, ні в безперервну частини.
Таким чином, ми бачимо, що спектр оператора складається з 3-х великих частин, принципово різних.
В
Властивості резольвенти
Теорема 1 : обмежено. Тоді є регулярною точкою. p> Доказ. . Нехай. Тоді. p> - Банаховий,, причому він обмежений:
В
Резольвента існує і обмежена. ЧТД. p> Теорема 2: не належить точкового спектру здійснює біекція на. p> Доказ.
Г° Якщо побудована біекція, то не існує, за винятком тривіальною. p> Г° Якщо - Точка точкового спектру, те, що суперечить биективная. p> Теорема 3...
