:
(Тотожність Гільберта) Доказ.
,,
, вірно => ЧТД.
Наслідки:
1) - Комутативність резольвенти. p> 2) (Тому неперервна по в точці), тобто вона нескінченно диференційовна (Аналітична функція). p> Отже, - аналітична оператор-функція на безлічі регулярних точок (резольвентних безлічі). - Розкладання в ряд Лорана (має місце при, але, можливо, і більшою області).
Вправи: (Приклади обчислення спектрального радіусу)
,
.
Возьмем.Тогда
В
Таким чином. Ця оцінка досяжна при, тобто , І r c (A) = 1. p> Теорема 4: всяка к.ч., є регулярна точка самосопряженних оператора A. p> Доказ.
] регулярна точка, значить не власне значення і. Перевіримо обмеженість. br/>В В
обмежений, і його можна поширити на із збереженням норми оператора, так як не власні значення. Якщо при цьому не замкнуто, то не замкнутий. При цьому лінійний оператор, зворотний до замкнутого, а також зв'язаний до нього, замкнутий => Самосопряженний оператор замкнутий.
Спектральна теорія в електроніці
корисний додаток спектральної теорії у фізиці є теорія спектрів електричних сигналів. Суть теорії полягає в тому, що будь-який сигнал на вході лінійної ланцюга можливо представити сукупністю гармонійних коливань, або тестових сигналів, заданої частоти, питання такого розкладу полягає в знаходженні амплітуд результуючих коливань. Останні обчислюються певним чином. br/>В
Класичне перетворення Фур'є представляє з себе лінійний оператор.
Спектральна теорія тут працює таким чином - для періодичних вхідних сигналів для знаходження відповідних амплітуд використовується інтегральне перетворення - дискретний Фур'є-образ:
В В В В
в якому розкладання починається з частоти проходження w до . У даному випадку очевидно, що, раз вихідний сигнал представляється сумою нескінченного ряду, то ми маємо справу з точковим спектром сигналу , оскільки він дискретний. Отже, будь-яке періодичне коливання можна розглядати як сигнал з дискретним спектром, оскільки безперервним спектром він не володіє. Однак, якщо ж узяти неперіодичний сигнал, наприклад, одиничний прямокутний імпульс, то вводиться поняття прямого і зворотного перетворень Фур'є :
,
де S (w) - спектральна щільність сигналу s (t).
Відповідно, S (w) - безперервна по w функція, і в даному.
Висновок
У роботі не ставилася мета охопити весь курс спектральної теорії та спектрвльних характеристик, а ставилася мета вивчити основні спектральні характеристики лінійних операторів, і описати застосування цих понять. Знову ж, клас Фур'є перетворень включає в себе набагато більший обсяг, ніж той, про який згадано в роботі, вони використовуються в теорії а...
