Спектр оператора. Застосування нестандартного аналізу для дослідження резольвенти і спектру оператора
Випускна кваліфікаційна робота
Виконала студентка V курсу математичного факультету Овчинникова Олена Олександрівна
Вятський державний гуманітарний університет
Кіров 2005
Введення p> Розділ математичної логіки - теорія нестандартних моделей математичного аналізу щодо молодий і недостатньо висвітлений у математичній літературі. Тому мені цікаво було висвітлити його елементи у своїй кваліфікаційній роботі.
Метою роботи є висвітлення теорії стандартних операторів, дослідження резольвенти та спектру оператора з допомогою стандартних методів математичного аналізу, а потім, після введення основних понять і пропозицій нестандартного аналізу, за допомогою нестандартних методів.
У ході роботи були описані резольвентних і спектральне безлічі операторів, а так само наведено їх приклади на стандартних і нестандартних операторах.
Історія нестандартного аналізу p> Вік нестандартного аналізу коливається від чотирьох десятків до трьох сотень років. Чотири десятки виходить, якщо вважати, що нестандартний аналіз зародився восени 1960 року, коли його засновник, Абрахам Робінсон, зробив на одному з семінарів Прінстонського університету доповідь про можливості застосування методів математичної логіки до обгрунтуванню математичного аналізу. Триста років виходить, якщо вважати початком нестандартного аналізу поява символів нескінченно малих dx і dy в трактаті Лейбніца.
Як і всяке інше наукове напрямок, нестандартний аналіз виник не на порожньому місці. Основні його джерела: по-перше, це йде від класиків математичного аналізу традиція вживання нескінченно великих і нескінченно малих - традиція, що збереглася до нашого часу. Другий, менш очевидне джерело - нестандартні моделі аксіоматичних систем, що з'явилися в математичній логіці.
До 1960 року методи побудови нестандартних моделей були давно розроблені і добре відомі фахівцям з теорії моделей, одним із засновників якої був А. Робінсон. Залишалося лише з'єднати їх з ідеями про застосування нескінченно малих величин в аналізі, щоб покласти початок розвитку нестандартного аналізу. У 1961 р. з'явилася стаття А. Робінсона "Нестандартний аналіз" в Працях Нідерландської академії наук. У статті були намічені як основні положення нестандартного аналізу, так і деякі його додатки. Протягом наступних восьми років вийшли в світ три монографії, викладають нестандартну теорію: в 1962 р. - книга В.А. Дж. Люксембургу "Нестандартний аналіз. Лекції про робінсоновой теорії нескінченно малих і нескінченно великих чисел ", в 1966 р. - книга самого А. Робінсона" Нестандартний аналіз "і в 1969 р. - книга М. Маховер і Дж. Хіршфелд" Лекції про нестандартному аналізі ".
Найбільший резонанс викликала книга Робінсона. У дев'яти перших розділах цієї монографії містилося як побудова необхідного...
