Рівняння Боголюбова
Рівняння Больцмана, ідея якого належить самому Больцману, не може вважатися строгим. Дійсно, запис цього рівняння, як рівняння безперервності в m-просторі з джерелами (інтеграл зіткнень) в правій частині, передбачає, по-перше, що зміна в часі функції розподілу f (r, v, t) адитивно щодо двох процесів, що мають різне походження. Члени vi df/dxi і wi df/dvi в лівій частині
В
або
В
характеризують потоки газу, що виникають внаслідок існування градієнта щільності і зовнішніх полів, в той час як праві частини виникають внаслідок врахування зіткнень молекул. Таким чином передбачається, що потоки і зіткнення не впливають один на одного. По-друге, в інтегралі зіткнень значення функцій беруться в однієї і тієї ж точці простору r, в той час як з урахуванням кінцевих розмірів молекул координати у функціях і у функціях повинні бути обрані різними.
Далі, як ми вже згадували, класичний висновок рівняння Больцмана передбачає відсутність кореляцій між швидкостями молекул. Нарешті, що найбільш істотно, в рівнянні Больцмана враховуються тільки попарні зіткнення молекул, і немає більш-менш очевидного рецепта, що дозволяє врахувати зіткнення груп з трьох, чотирьох і більше молекул. Тим часом ясно, що облік таких процесів істотний для щільних газів.
У наближенні парних зіткнень довжина вільного пробігу назад пропорційна щільності газу
В
(s - ефективний перетин парних зіткнень).
Як відомо, це призводить до того, що коефіцієнти переносу: ГЂ - коефіцієнт теплопровідності, a - коефіцієнт в'язкості, не залежать від щільності п і, стало бути, від тиску. При обліку багаточасткових зіткнень вираз для l повинно мати вигляд
,
де коефіцієнти a, А виникають у зв'язку з урахуванням трехчастічних, коефіцієнти b і В - у зв'язку з урахуванням четирехчастічних і т. д. зіткнень. У результаті для довжини пробігу і для коефіцієнтів переносу повинні виникнути віриалів розкладання такого ж типу, які виникають в статистичній фізиці для рівняння стану неідеального газу.
У зв'язку зі сказаним доцільно підійти більш строго до проблеми виведення кінетичного рівняння і до його можливих узагальнень. Це можна зробити за допомогою вельми загального і суворого методу, запропонованого Н. Н. Боголюбовим, до короткому викладу якого ми й переходимо.
Маємо систему з N однакових часток, стан якої в класичній механіці ми будемо задавати за допомогою 2N векторів ri, vi. Сукупність ri, і vi ми для стислості будемо позначати символом xi а твір d3rid3vi - Символом dxi. p> Введемо функцію розподілу F (N) (x1, ..., xN, t) в Г-просторі, вважаючи координатами Бn-мірного Г-простору координати і проекції швидкостей всіх частинок. Вираз
F {N) (х1, х2, ..., xN, t) dx1dx2 ... dxN
дає ймовірність того, що зображає точка в Г-просторі знаходиться в обсязі dx1, dx2 ... dxN, а...
