функція F (N) унормована на одиницю
ГІ F {N) (х1, х2, ..., xN, t) dx1dx2 ... dxN = 1. (1)
Будемо надалі вважати, що зовнішні поля відсутні і частинки взаємодіють з потенціалом взаємодії U (rik) = ти (rik). Для виключення граничних ефектів ми будемо розглядати термодинамічний межа, при якому , A w = V/N залишається кінцевим. p> Подальші міркування засновані на рівнянні Ліувілля, яке ми запишемо тут у вигляді
, (2)
де оператор називається оператором Ліувілля і визначається формулою
(3)
причому wi, k =-ді (ri, k)/dri - прискорення, що надається i-й частці взаємодією з k-й часткою. Функції розподілу r (р, q) і функції F {N) (Ri, vi, t) по суті ідентичні, і, отже, F (N) (xi, t) підпорядковується рівняння
В
Слід звернути увагу читача на наступні принципові властивості рівняння Ліувілля.
1. Функція F (N) (х1, х2, ..., xN, t) лише В«насильноВ» була нами пов'язана з імовірнісними уявленнями. Ми могли б розглядати її НЕ як щільність ймовірності для одиничної системи з координатами ri, vi, а як довільно задану в початковий момент часу функцію розподілу для ансамблю систем - ансамблю Гіббса.
Інакше кажучи, ми можемо собі уявити, що при t = 0 ми В«ПриготовляемВ» ансамбль, тобто довільним чином В«висипаємоВ» зображують точки в фазовий простір, задаючи тим самим F {N) {x1, ..., xN, 0). У Надалі ці В«висипаніВ» точки В«пливутьВ» за своїми фазовим траєкторіях, підкоряючись виключно законами механіки. Таким чином, рівняння (2) зовсім не має статистичного імовірнісного змісту, а несе в собі тільки чисто механічну інформацію.
2. Рівняння Ліувілля, будучи рівнянням першого порядку по часу, описує причинно-обумовлене зміна функції F (N) (х1, ..., xN, t). При заданому її початковому значенні F (N) (х1, ..., xN, 0) рівняння (2) однозначно пророкує всі майбутні значення F (N) (xi, t).
3. Як і всяке рівняння класичної механіки, рівняння Ліувілля оборотно в часі. Це означає, що при заміні t на-t воно залишається незмінним. Отже, поряд з В«прямимВ» рухом примірників ансамблю, настільки ж можливим при відповідній зміні початкових умов, є і В«ЗверненеВ» рух. p> 4. У світлі сказаного не дивно, що рішення рівняння Ліувілля еквівалентно рішенням динамічної задачі, тобто знаходженню всіх динамічних траєкторій. Формально це видно з того, що характеристики рівняння (2) мають вигляд
,
з яких слідують рівняння динаміки у формі Ньютона
.
Фізично це випливає з того, що ми можемо В«приготуватиВ» початковий ансамбль у вигляді, тобто В«висипатиВ» все зображують точки в одну точку фазового простору. У силу однозначності рішення рівняння Ліувілля при заданому початковому умови рух зображає точки і буде описувати еволюцію однієї єдиної динамічної системи. Таким чином, поряд з методами розв'язання задач динаміки, заснованими на інтегруванні рівнянь Ньютона, Лагранжа,...
