ТЕМА
Класичні методи безумовної оптимізації
Введення
Як відомо, класична задача безумовної оптимізації має вигляд:
(1)
(2)
Існують аналітичні і чисельні методи вирішення цих завдань.
Перш все згадаємо аналітичні методи розв'язання задачі безумовної оптимізації.
Методи безумовної оптимізації займають значне місце в курсі МО. Це обумовлено безпосереднім застосуванням їх при вирішенні ряду оптимізаційних завдань, а також при реалізації методів вирішення значної частини задач умовної оптимізації (Завдань МП). br/>
1. Необхідні умови для точки локального мінімуму (максимуму)
Нехай т. доставляє мінімальні значення функції. Відомо, що в цій точці приріст функції неотрицательно, тобто br/>
. (1)
Знайдемо , Використовуючи розкладання функції в околиці т. в ряд Тейлора.
, (2)
де ,, - Сума членів ряду порядок яких відносно приросту (двом) і вище.
З (2) маємо:
(3)
Далі припустимо, що змінюється тільки одна змінна з безлічі змінних. Наприклад,, тоді (3) перетвориться до увазі:
(4)
З (4) з очевидністю випливає, що
(5)
Припустимо, що, тоді
(6)
З урахуванням (6) маємо:. (7)
Припустимо, що позитивно, тобто . Виберемо при цьому, тоді твір, що суперечить (1). p> Тому, дійсно, очевидний.
Розмірковуючи аналогічно щодо інших змінних отримуємо необхідна умова для точок локального мінімуму функції багатьох змінних
В
(8)
Легко довести, що для точки локального максимуму необхідні умови будуть точно такими ж, як і для точки локального мінімуму, тобто умовами (8).
Зрозуміло, що підсумком докази буде нерівність виду: - умова непозитивним приросту функції в околиці локального максимуму.
Отримані необхідні умови не дають відповідь на питання: чи є стаціонарна точка точкою мінімуму або точкою максимуму.
Відповідь на це питання можна отримати, вивчивши достатні умови. Ці умови припускають дослідження матриці других похідних цільової функції.
2. Достатні умови для точки локального мінімуму (максимуму)
Уявімо розкладання функції в околиці точки в ряд Тейлора з точністю до квадратичних по доданків.
(1)
Розкладання (1) можна представити більш коротко, використовуючи поняття: "скалярний твір векторів "і" векторно-матричне твір ".
(1 ')
В В В
- матриця двох похідних від цільової функції з відповідним змінним.
,
Прирощення функції на підставі (1 ') можна записати у вигляді:
(3)
Враховуючи необхідні умови:
, (4)
Підставами (3) у вигляді:
(4 &...
