НЕОБХІДНІ УМОВИ ОПТІМАЛЬНОСТІ. Принципу максимуму ПОНТРЯГІНА
1 Загальна задача керованості
Розглянемо керованого об'єкт, что опісується системою рівнянь
, (1)
де - вектор фазового стану об'єкта; - вектор Керування.
Припустиме, задані початкова й кінцева множини та. Завдання керованості Полягає у встановленні Наступний фактом: чг існує на Деяк відрізку годині хочай б Одне таке Припустиме Керування, что відповідній Йому розв'язок рівняння (1) задовольняє Граничну умів
,. (2)
Визначення. Об'єкт є керованого на відрізку годині Із множини на множини, ЯКЩО існує хочай б Одне Припустиме Керування таке, что відповідній Йому розв'язок задовольняє Граничну умів (2), тоб здійснює Перехід з початкової множини на кінцеву множини на відрізку годині.
Если питання про Існування оптимального Керування вірішено, далі звітність, его найти (для цього Використовують необхідні умови оптімальності), а потім вібіраті оптімальне Керування на множіні всех Керування, что задовольняють ЦІМ необхіднім умів. Необхідні умови оптімальності, Які дозволяють віділіті Із множини Припустиме процесів Деяк підмножіну процесів, підозріліх на оптімальність, Дає принцип максимуму Понтрягіна. br/>
2 Властивості оптимальних Керування
Розглянемо керованого систему із Законом (1) за завдання Крайової умів
,, (3)
у якій фазові вектор набуває будь-яких значень Із простору, тоб фазові обмеження відсутні. Вважатімемо такоже, что на вектор Керування накладаються обмеження:
,, , (4)
де - вектор-функція, неперервно по всех змінніх и неперервно-діференційована по змінніх;
- лінійній простір кусково-неперервно на функцій.
звітність, найти таке Припустиме Керування, что переводити систему з фазового стану біля фазові стан, причому відповідній Припустиме процес надає мінімального Значення функціоналу
, (5)
де функція неперервно за сукупністю усіх змінніх и неперервно-діференційована по змінніх.
Вважатімемо, что годину Керування - довільній, тоб шкірному Припустиме процеса, на якому система переходити Зі стану біля табору, відповідають свои моменти годині й.
мают місце наступні Властивості оптимальних Керування и траєкторій задачі (1), (3) - (5).
1. Властивості Керування НЕ змінюються при зміщенні уздовж осі. Отже, ЯКЩО Керування,, переводити систему Зі стану біля табору, а цільовій функціонал на відповідному Припустиме процесі пріймає значення, а то для шкірного Керування, такоже переводити систему Зі стану в стан и цільовій функціонал при цьом набуває значення (рис. 1).
В
Рисунок 1
Позначімо, ..., - скінченній набор точок фазового простору, для якіх існує набор таких Керування, ...,, что Керування переводити систему Зі...
