#39;)
(5)
Квадратична форма називається диференціальної квадратичною формою (ДКФ).
Якщо ДКФ позитивно визначена, то і стаціонарна точка є точкою локального мінімуму.
Якщо ж ДКФ і матриця, її представляє, негативно визначені, то і стаціонарна точка є точкою локального максимуму.
Отже, необхідна і достатня умова для точки локального мінімуму мають вигляд
В
(ці ж необхідні умови можна записати так:
,,)
- достатня умова.
Відповідно, необхідна і достатня умова локального максимуму має вигляд:
, (),.
Згадаймо критерій, що дозволяє визначити: чи є квадратична форма і матриця, її представляє, позитивно певної, чи негативно визначеною.
3. Критерій Сильвестра
Дозволяє відповісти на питання: чи є квадратична форма і матриця, її представляє, позитивно певної, чи негативно визначеною.
Далі виклад буде відносно ДКФ і матриці її визначальної, тобто ДКФ виду
.
, - називається матрицею Гессе.
В
Головний визначник матриці Гессе
В В В В
і ДКФ, яку воно представляє, будуть позитивно певними, якщо всі головні визначники матриці Гессе () є позитивними (тобто має місце наступна схема знаків:
)
Якщо ж має місце інша схема знаків для головних визначників матриці Гессе, наприклад,, то матриця і ДКФ негативно визначені.
4. Метод Ейлера - класичний метод вирішення завдань безумовної оптимізації
Цей метод заснований на необхідних і достатніх умовах, вивчених в 1.1 - 1.3; застосуємо знаходженню локальних екстремумів тільки безперервних диференційовних функцій.
Алгоритм цього методу досить простий:
1) використовуючи необхідні умови формуємо систему в загальному випадку нелінійних рівнянь. Відзначимо, що вирішити аналітично цю систему в загальному випадку неможливо; слід застосувати чисельні методи розв'язання систем нелінійних рівнянь (НУ) (див. "ЧМ"). З цієї причини метод Ейлера буде аналітично-чисельним методом. Вирішуючи зазначену систему рівнянь знаходимо координати стаціонарної точки.;
2) досліджуємо ДКФ і матрицю Гессе, яка її представляє. З допомогою критерію Сильвестра визначаємо, чи є стаціонарна точка точкою мінімуму або точкою максимуму;
3) обчислюємо значення цільової функції в екстремальній точці
В
Методом Ейлера вирішити таку завдання безумовної оптимізації: знайти 4 стаціонарні точки функції виду:
В
З'ясувати характер цих точок, чи є вони точками мінімуму, або Седлова (див. [3]). Побудувати графічне відображення цієї функції в просторі і на площині (з допомогою ліній рівня).
Далі цю функцію будемо іменувати типової функцією, досліджуючи її екстремальні властивості усіма вивченими методами.
5. Класична задача умовної оптимізації та методи її вирішення: Метод виключен...
