ом метричного простору при цьому очевидно, а виконання третьої аксіоми випливає з тривіальних властивостей модуля і того факту, що максимум суми не перевершує суми максимумів:
В
Зрозуміло, на одному і тому ж безлічі метрику можна ввести по-різному. Розглянута щойно метрика у просторі неперервних функцій називається рівномірної метрикою ( простір з цією метрикою позначають ) . Однак на тому ж самому безлічі безперервних функцій можна ввести і так звану середньоквадратичнепомилку метрику
В
(простір з цією метрикою позначають ), і деякі інші метрики. Виконання нерівності трикутника для середньоквадратичної метрики буде доведено дещо пізніше.
У лінійних просторах поряд з метрикою використовують поняття норми елемента.
Визначення. Лінійне простір називається нормованим, якщо кожному елементу x цього простору поставлено у відповідність дійсне число (норма x), причому виконані наступні аксіоми:
1. для будь-якого x, причому тоді і тільки тоді, коли ;
2. для будь-якого x і будь-якого комплексного;
3. для будь-яких x, y з даного простору.
Для лінійних просторів над полем дійсних чисел також вводиться поняття нормованого простору з тими ж аксіомами.
Нерівність, яке фігурує в третій аксіомі, називається нерівністю Маньківського. Найпростішими прикладами нормованих просторів можуть служити безлічі дійсних чисел R і комплексних чисел C, де в якості норми числа розглядається його модуль, а також простір векторів на площині (або в просторі) з нормою, що дорівнює довжині вектора. У просторі безперервних функцій на (дійсному чи комплексному) норму можна ввести, наприклад, такими способами:
, .
Зазначимо тепер наступний важливий факт. У будь-якому лінійному нормованому просторі можна ввести метрику наступним чином:
В
При цьому виконання першої аксіоми метричного простору випливає з першої аксіоми нормованого простору. Виконання другої аксіоми також очевидно:
.
Нарешті, виконання третьої аксіоми метричного простору випливає з нерівності Мінковського:
В
Отже, будь-яке лінійне нормований простір можна зробити мет...
