ь на це запитання негативна.
прото справедлива теорема, якові Вперше довів К.Г.Шварц.
Теорема (про мішані похідні). Если функція Визначи разом Із своими похіднімі в Деяк околі точки, причому похідні та неперервні в точці, то в Цій точці
.
Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервно мішаніх похідніх, Які відрізняються между собою позбав порядком діференціювання.
2 диференційованість Функції
похідна діференціал функція змінна
Нехай функція Визначи в Деяк околі точки. Віберемо Приріст и так, щоб точка належала розглядуваному околу и Знайдемо повний ПРИРІСТ Функції в точці:
.
Функція назівається діференційовною в точці М, ЯКЩО ее повний ПРИРІСТ в Цій точці можна податі у вігляді
, (1)
де та - дійсна числа, Які НЕ залежався від та, - Нескінченно Малі при i Функції.
Відомо, что коли функція однієї змінної діференційовна в деякій точці, то вона в Цій точці неперервно и має похідну. Перенесемо ці Властивості на Функції двох змінніх. p> Теорема 1 (неперервність діференційовної Функції).
Если функція діференційовна в точці М, то вона неперервно в Цій точці.
Доведення
Если функція діференційовна в точці М, то з рівності (1) віпліває, що. Це означає, что функція неперервно в точці М.
Теорема 2 (Існування Частинами похідніх діференційовної Функції). Если функція діференційовна в точці, то вона має в Цій точці похідні та і. p> Доведення
Оскількі діференційовна в точці, то справджується Рівність (1). Поклал в ній, отрімаємо,
.
Поділімо обідві Частини цієї рівності на і перейдемо до границі при:
.
Отже, в точці існує Частинами похідна. Аналогічно доводитися, что в точці існує Частинами похідна. p> Твердження, обернені до теорем 1 і 2, взагалі Кажучи, неправільні, тоб Із неперервності Функції або Існування ее Частинами похідніх галі не віпліває діференційовність. Наприклад, функція неперервно в точці, альо НЕ діференційовна в Цій точці. Справді, границі
В
НЕ існує, тому не існує ї похідної. Аналогічно впевнюємося, что НЕ існує такоже похідної. Оскількі задана функція в точці НЕ має Частинами похідніх, то вона в Цій точці НЕ діференційовна. p> Більш того, відомо Приклади функцій, Які є неперервно в Деяк точках и мают в них частинні похідні, альо НЕ є в ціх точках діференційовнімі.
Теорема 3 (достатні умови діференційовності).
Если функція має частинні похідні в Деяк околі точки и ці похідні неперервні в точці М, то функція діференційовна в точці М.
Доведення
Надам зміннім x и пріростів, таких, щоб точка належала даним околу точки. Повний ПРИРІСТ Функції запішемо у вігляді
. (2)
вирази у дерло квадратних дужках рівності (2) можна розглядаті як ПРИРІСТ Функції однієї змінної x, а в інши...
