Таразскій Інноваційно Гуманітарний Університет
Про існування та єдиності розв'язку деяких класів гіперболічних рівнянь
А. Дунбаева
Г. Ахмедіева
Б. Омарова
А. Турганбекова
р. Тараз
Формулювання результатів
Відомо, що у разі необмеженої області властивості рішень еліптичних рівнянь досліджені досить повно. Для гіперболічних рівнянь та рівнянь змішаного типу цим питанням присвячено набагато менше робіт [1-4]. p align="justify"> Розглянемо диференціальне рівняння
(1)
Надалі припустимо, що коефіцієнти задовольняють умові:
i) - безперервні функції в.
Теорема 1. Нехай виконана умова i). Тоді для рівняння (1) при будь існує єдине рішення. p> Теорема 2. Нехай виконана умова i). Тоді для будь-якого рішення рівняння справедлива оцінка
,
де з> 0 - постійне число.
На покладемо
В
Неважко перевірить, що оператор допускає замикання і його позначимо через.
Допоміжні леми та затвердження
Лемма 2.1. Нехай виконана умова i). Тоді для всіх виконується нерівність
В
Доказ. Лемма доводиться точно також як лема 1. роботи
Далі, в цьому пункті доводиться існування резольвенти диференціального оператора
В
в
Для цього, спершу, розглянемо оператор
В
визначений на множині функції і задовольняють таким вимогам:
,
Тут і-праві і ліві кінці інтервалів.
Лемма 2.2. Нехай виконана умова i). Тоді при існує безперервний зворотний, визначений у просторі і справедливі наступні оцінки
гіепрболіческій рівняння еліптичний диференційний
а), б),
в) а при;
г)
де - постійне число не залежить від і.
Доказ. Повторюючи викладки і міркування використані в роботах [1-4], отримуємо доказ леми 2.2. p> Візьмемо набір невід'ємних функції з таких, що
, supp
Через До позначимо оператор, визначений рівністю
,
Лемма 2.3. Нехай, виконана умова i). Тоді для будь-якої функції справедливо наступне рівність
(2.1)
де
(суми без вказівки меж беруться за всіма цілим j)
Доказ. Нехай і розглянемо дії оператора K на f
(2.2)
Так як, то сума (2.7) кінцева. Тому наступне обчислення законні:
В
Тут враховувалося, що. Лемма 2.3 доведена. p> Лемма 2.4. Нехай виконана умова i). Тоді знайдеться таке, що. p> Доказ. Проведемо оцінку норми оператора:
В
Тут ми возпользоваться...
