тим що на тільки. Звідси і в силу нерівності Гельдера отримуємо, що
В
де, з останнього нерівності, користуючись лемою 2.2. маємо:
(2.3)
Остання нерівність при досить великих позитивних доводить лему.
Лемма 2.5. Нехай виконана умова i). Тоді оператор при досить великих безперервно звернемо і справедливо нерівність. br/>
(2.4)
Доказ. Оператор обмежений зі своїм зворотним. Тому безліч щільно в. З рівності (2.11) при одержуємо, що і. Звідси маємо що є рішенням рівняння. Одиничність випливає з леми 2.2 лема 2.5 доведена. p> Лемма 2.6. Нехай виконані умови леми 2.5. і нехай таке, що. Тоді справедлива оцінка:
(2.5)
де безперервна функція в.
Доказ. З уявлення (2.5) видно, що оператор обмежений (або необмежений) разом з оператором. p> Тому будемо займатися оцінкою норми останнього оператора. Для будь-якого маємо:
В В В
Не важко перевірити, що на тільки. Враховуючи це в силу нерівності Гельдера маємо:
В
Лемма 2.6 доведена.
Лемма 2.7. Нехай виконані умови леми 2.6. Тоді справедливі наступні оцінки:
а), б);
в).
Доказ. Згідно леми 2.6. br/>В
Звідси і з леми 2.2 одержуємо, що
Далі, в силу леми 2.4 маємо:
В
Точно також, користуючись лемою 2.3. знаходимо
В
Лемма 2.7 доведена.
Доказ теорем 1-2
Застосовуючи перетворення Фур'є по х до рівняння (1) отримуємо:
(3.1)
де
В В
Звідси неважко помітити, що завдання про рішення рівняння (1) перейде у завдання про рішення рівняння (3.1). Отже, по лемі 2.5.: br/>
(3.2)
дає рішення рівняння (3.1).
Тепер, використовуючи зворотний оператор, маємо:
(3.3)
З (3.3) використовуючи властивостями перетворення Фур'є, отримуємо, що
В В В
Звідси, в силу леми, знаходимо:
(3.4)
- постійне число.
Знайдемо
В
Далі, ми маємо
В В В
Звідки, в силу леми 2.4
(3.5)
- постійне число.
Аналогічно знайдемо:
В
Тоді можна записати, що
В В
Звідси і з леми 2.7. маємо:
(3.6)
де - постійне число не залежить від u і f.
Знаходимо також:
В
Так як перетворення Фур'є не залежить від у, то справедливо рівність:
В В
Таким чином, враховуючи лему 2.4 маємо:
В
(3.7)
Теорема 2 повністю доведена.
Список літератури
1. Муратбек М.Б. // Диференціальні рівняння, 1991, т.27, № 16 С. 2127-2137. p align="justify">. Кальменов Т.Ш., Муратбек М.Б. // Спектральні властивості оператора змішаного типу. Видавництво В«? ИлимВ» Алмати, 1997. p align="justify">. Муратб...
