1. Задачі дифракції та методи їх вирішення
.1 Постановка завдання
Сформулюємо математичну постановку задачі дифракції первинного хвильового поля на тілі, обмеженому замкнутим контуром S .
Розсіяне хвильове поле задовольняє однорідному рівнянню Гельмгольца
,
де - хвильове число, умові випромінювання Зоммерфельда на нескінченності виду
,
(для простоти ми розглядаємо двовимірний випадок), а також деякому крайовій умові на кордоні S розсіювача. Нехай, наприклад, це буде умова Діріхле
,
де - відома функція, поле падаючої на перешкоду хвилі.
1.2 Представлення поля за допомогою хвильових потенціалів
Подання хвильових полів за допомогою хвильових потенціалів має наступний вигляд:
У цьому співвідношенні - радіус-вектор точки спостереження, - радіус-вектор точки інтегрування на - деякої досить гладкою замкнутої поверхні (в двовимірному випадку - контура), - диференціювання в напрямку зовнішньої до нормалі, і - щільності потенціалів подвійного і простого шару відповідно, - функція Гріна (фундаментальне рішення рівняння Гельмгольца).
В двовимірному випадку
-
функція Гріна вільного простору.
Здійснюючи деформацію носія густин всередину, ми можемо аналітично продовжити хвильове поле в область, причому таке продовження, очевидно, можливе лише в тому і тільки в тому випадку, якщо отримана в результаті деформації замкнута поверхню (контур) охоплює всі особливості продовження хвильового поля в область.
Якщо при цьому поверхню (в двовимірному випадку контур) нерезонансна, тобто не є власним значенням відповідної внутрішньої задачі Діріхле або Неймана для області всередині, то хвильове поле може бути представлено за допомогою лише потенціалів простого
,
або відповідно - подвійного шару
Уявлення і лежать в основі методів, в яких носій густин розташовується усередині розсіювача, - це метод допоміжних струмів (МВТ), стандартний метод дискретних джерел (СМДІ) і модифікований метод дискретних джерел (ММДІ).
2. Особливості аналітичного продовження хвильового поля
Аналіз показує, що продовження рішення всередину області D представляє собою, взагалі кажучи, багатозначну функцію, що має в D особливості типу розгалуження. Тому для виділення однозначного рішення потрібно вводити систему розрізів, на яких отримане продовження матиме розриви першого роду.
Для дослідження завдання про продовження рішень в матеріальному просторі природно поширити аналізованих рівняння в комплексну область. Це пов'язано з тим обставиною, що рівняння Гельмгольца має комплексні характеристики, уздовж яких поширюються особливості вирішення цих рівнянь.
3. Метод допоміжних струмів
Що виникає інтегральне рівняння першого роду з гладким ядром має, наприклад, такий вигляд:
Ясно, що при заданій правій частині рівняння далеко не завжди має рішення. З іншого боку, неважко показати, що якщо поверхня охоплює всі особливості хв...
