Cодержание
Введення
§1. Метод Фур'є розв'язання змішаної крайової задачі для нелокального хвильового рівняння
§2. Змішана крайова задача. Апріорна оцінка
Література
Введення
Актуальність. В даний час спостерігається помітне зростання уваги дослідників до дробовому обчисленню. У першу чергу це обумовлено численними ефективними додатками дрібного інтегро диференціювання при описі широкого класу фізичних і хімічних процесів, що протікають у фрактальних середовищах.
Основою більшості математичних моделей, що описують зазначені явища, є диференціальні рівняння дробового порядку. Тому розвиток аналітичного апарату теорії рівнянь з приватними похідними дробового порядку є досить актуальною і важливою задачею.
В [14] запропонована фізична інтерпретація дробової похідної, не пов'язана з тією чи іншою конкретною проблемою. Узагальнення рівнянні переносу можна похідною по різному.
В [7] Нахушева А.М. було визначено хвильове рівняння
де - оператор дробового інтегрування (при) порядку і дрібного диференціювання (при) порядку, який визначається як в [8] формулою
де - ціла частина числа гамма- функція Ейлера.
В якості рівняння нерозривності для фрактальної середовища в [7] запропоновано рівняння
де - позитивні величини, залежить від структури і хаусдорфовской розмірності фрактала.
Якщо потік в точці середовища в момент часу пов'язаний з концентрацією за законом Фіка
При отримаємо (0.1)
Методом розділення змінних дифузійно-хвильове рівняння досліджувався в роботах Шханукова М.Х. [14], Геккіевой С.Х. [1], Керефова М.А [3].
Також Кочубей А.Н.. [4] - [5], Ейдельман Д. у своїх працях розглядали загальне рівняння дифузії дробового порядку з регуляризоване дробової похідної, було побудовано фундаментальне рішення, знайдено рішення задачі Коші і показана його єдиність в класі функцій, що задовольняють умові А.Н. Тихонова. Крайові задачі для диференціальних рівнянь з приватними похідними дрібного і континуального порядку були досліджені в роботах Псху А.В. [9] - [10].
Об'єкт дослідження: Змішана крайова задача для нелокального хвильового рівняння з дробовою похідною.
Методи дослідження: метод розділення змінних; постановка і вирішення завдання Штурма-Ліувілля; єдність розв'язку змішаної крайової задачі реалізується методом апріорних оцінок.
Мета роботи: Постановка і вирішення змішаної крайової задачі для нелокального хвильового рівняння з дробовою похідною.
§1. Метод Фур'є розв'язання змішаної крайової задачі для нелокального хвильового рівняння
крайова задача хвильове рівняння
В області розглянемо задачу:
де, яке задовольняє початковим умовам:
і граничним умовам
Для вирішення цього завдання розглянемо, як прийнято в методі розділення змінних, спочатку основну допоміжну завдання:
Знайти рішення рівняння
не рівне тотожне нулю, яке задовольняє однорідним граничним умовою (1.3) і представимое у вигляді
Підставляючи передбачувану форму рішення (1.4) в рівняння (1.1) після ділення на, отримуємо:
Так як
Зі співвідношення (1.5) отримуємо диференціальні рівняння для визначення:
Граничні умови (1.3) дають:
Таким чином, для визначення ми отримали завдання про власні значеннях (задачу Штурма-Ліувілля): знайти ті значення параметра, при яких існують нетривіальні рішення завдання:
(1.8)
а також знайти ці рішення.
Такі значення параметра називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні рішення - власними функціями задачі (1.8).
Сформулюємо основні властивості власних функцій і власних значень задачі Штурма-Ліувілля, необхідні для подальшого викладу:
) Cуществует рахункове безліч речових власних значень? 1 lt; ? 2 lt;... lt; ? n ..., кожному з яких відповідають єдині лінійно-незалежні нетривіальні рішення задачі - власні функцііХ1 (х), Х2 (х), ..., Хn (х), ...
) Всі власні значення? n ненегативні.
) Власні функції Хm (х) і Хк (х) при ортогональні між собою з вагою на [0; l]:. <...
