ильового поля, то рівняння має рішення. Точніше кажучи, має місце наступна теорема:
Нехай - довільна замкнута нерезонансна поверхню Ляпунова в ( - область всередині ), тоді необхідне і достатня умова розв'язання рівняння виду в , полягає в тому, щоб поверхня охоплювала безліч особливостей продовження розсіяного поля всередину .
Вимога нерезонансних, тобто відсутності на даній частоті власних коливань в області всередині (рішень внутрішньої однорідної крайової задачі) пов'язане з видом рівняння. Якщо ж крайову задачу звести до рівнянь, що містить обидві щільності і потенціалів, то вимога нерезонансних відпадає. Умова охоплення поверхнею всіх особливостей хвильового поля залишається в силі і для дискретного аналога методу.
Розглянемо, наприклад, питання про існування рішення поставленої задачі дифракції.
Якщо в рівнянні інтеграл зліва замінити по якомусь правилу сумою, а ліву частину цього рівняння прирівняти до правої у відповідному числі точок, то ми отримаємо формулювання завдання, еквівалентну так званим методом допоміжних джерел. Одним з принципових питань, від яких залежить ефективність методу, є вибір контуру, на якому повинні розташовуватися допоміжні джерела. Очевидно, що правильним є такий вибір допоміжного контуру, коли він охоплює особливості дифракційного поля.
Якщо контур стягнути до відрізка осі, то в цьому випадку уявлення дифракційного поля у вигляді потенціалу простого шару виявляється вже не повним і потрібно використовувати уявлення:
.
Справді, як поле, так і його нормальна похідна терплять розрив при переході через відрізок, що еквівалентно наявності двох струмів - електричного і магнітного - на цьому відрізку.
Підставивши в гранична умова Діріхле, отримаємо:
дифракція контур хвильової ток
Так як невідомих функцій дві, то для їх визначення потрібні два рівняння. Необхідні рівняння ми отримаємо, якщо звернемо увагу на те, що доданок з в створює симетричне щодо лінії поле, а доданок з - антисиметричною. Відповідно до цього розіб'ємо функцію на симетричну й антисиметричного (відносно) частини:
.
В результаті величини і можуть бути знайдені з двох інтегральних рівнянь:
Для вирішення цих двох рівнянь скористаємося методом прямокутників.
Введемо позначення:
,,
Тоді:
, т.к. і, то
При отримаємо:
,,
Відповідно до методу дискретних джерел вторинне поле знаходиться у вигляді:
де
,,
Таким чином, отримаємо системи:
,
де:
,,
Вирішивши дану систему, знайдемо діаграму:
4. Чисельне моделювання
Розглянемо рішення задачі дифракції методом допоміжних струмів на трьох видах носіїв струмів:
. Двулістнік.
2. Овал Кассіні.
3. Еліпс.
На рис. 1. Наведені діаграма і невязка для вирішення задачі дифракції на еліпсі з параметрами.
<...
