виникають з алгебри.
1. ТРОХИ ІСТОРІЇ
Алгебра пройшла кілька етапів у своєму розвитку. Зараз рішенням лінійних і квадратних рівнянь навчають в середній школі, тому здається, що вирішувати їх зовсім просто. Але поки не з'явилися літерні позначення, знамениті a, b і c всі квадратні рівняння записувалися словами. Уявімо, що квадратне рівняння записано так: візьми відоме кількість, два рази помножене на невідому кількість, додаємо до цього другого відоме кількість, помножене на невідому кількість, додаємо до цього третього відоме кількість, в сумі отримуємо нічого. Ось така задачка, і необхідно знайти це невідома кількість. Стародавні єгиптяни з цим завданням впоралися саме в такому формулюванні. Правда, вчили цьому багато років, але коли людина навчався, він знаходив відповідь точно в такому ж вигляді, як формулюється завдання. Потім протягом дуже довгого часу робилися спроби вирішити рівняння третього і четвертого ступеня. Зрештою рішення були отримані, і люди навчилися вирішувати і ці рівняння. Далі виникла задача рішення рівняння 5-го ступеня. І ось тут почалися складнощі. Довгі безуспішні спроби знайти формулу для рішення рівняння 5-го ступеня закінчилися тим, що Абель довів неможливість вирішення цього завдання в радикалах. Потім з'являється Галуа. Він загинув у віці 20 років, але зате залишив після себе роботу, яка визначила розвиток алгебри на багато років вперед. Створені Галуа теорії продовжують використовуватися в сучасній математиці. Галуа запропонував міркування, яке до цих пір є одним з основних засобів міркувань в алгебрі. Уявімо, що треба вирішити деяку задачу. Завдання складне і вирішується насилу. Можна йти двома шляхами: можна сісти і вирішувати, а можна піти іншим шляхом. Наприклад, поки не придумали уявні числа, деякі квадратні рівняння було не можна вирішити, а от коли ввели цю уявну одиничку, все відразу стало просто. Значить, другий спосіб полягає в тому, щоб розширити безліч (чисел) так, щоб у завдання з'явилося рішення. Галуа запропонував дуже загальний метод розв'язання рівнянь. Якщо вони не вирішуються, треба розширити безліч можливих рішень, точно також, як і у випадку рівняння другого ступеня. І він запропонував такі розширення, які дозволяють розв'язувати рівняння будь-якого ступеня. Це так звані розширення Галуа. Ця ідея до теперішнього часу є однією з основних у сучасній математиці.
. ГРУПИ
Група G=(M, *) це така пара з безлічі M і бінарної операції * на цій множині, що виконуються такі властивості (аксіоми групи):
: (x * y) * z=x * (y * z) (асоціативність);
: (аксіома одиниці) існує єдиний одиничний елемент e такий, що для будь-якого x виконується e * x=x * e=x;: для будь-якого елемента x існує рівно один зворотний елемент, тобто такий елемент y, для якого y * x=x * y=e (зворотний елемент позначається).
Групи з доданим властивістю коммутативности операції a * b=b * a називаються комутативними або абелева (по імені норвезького математика Абеля, який їх вивчав). При використанні мультипликативной записи x * y або xy одиничний елемент групи традиційно називається одиницею і позначається e або 1. При адитивної записи одиничний елемент називається нулем і позначається 0. Замість терміну зворотний при адитивної записи використовується термін протилежний. Протилежний д...
