КАЗАНСЬКИЙ державного архітектурно-будівельного УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладної математики
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
по курсу Інформатика
для самостійної роботи студентів
усіх спеціальностей
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ
ЧАСТИНА 2
Казань
Укладачі: Ф.Г.Ахмадіев, Ф.Г.Габбасов, І.Н.Гатауллін,
Р.Ф.Гіззятов, Р.І.Ібятов, Х.Г.Кіямов.
УДК 621.313: 518.6
Методичні вказівки за курсом Інформатика для самостійної роботи студентів усіх спеціальностей. Чисельні методи. Частина 2./Казанський державний архітектурно-будівельний університет. Упоряд .: Ф.Г.Ахмадіев, Ф.Г.Габбасов, І.Н.Гатауллін, Р.Ф.Гіззятов, Р.І.Ібятов, Х.Г.Кіямов.-Казань, 2008. - 35с.
Методичні вказівки складаються з двох частин і призначені для самостійної роботи студентів усіх спеціальностей 2-го курсу денного та заочного відділень. У даній роботі наводяться чисельні методи рішення нелінійних рівнянь, систем лінійних і нелінійних алгебраїчних рівнянь, диференціальних рівнянь, визначених інтегралів, методи апроксимації дискретних функцій і методи розв'язання задач лінійного програмування.
Табл. 6, бібліогр. назв. 6.
Рецензент - Р.Б.Салімов, доктор фіз.-мат. наук, професор
Казанський державний
? архітектурно-будівельний
університет, 2008р.
5. Чисельне інтегрування
Потрібно обчислити визначений інтеграл:
I=(5.1)
Виберемо на відрізку інтегрування [а, b] n різних вузлів
a=x0 lt; x1 lt; x2 lt; ... xn - 1 lt; xn=b
і інтерполіруя функцію f (x) по її значенням в цих вузлах деяким поліномом Pm (x).
Тоді визначений інтеграл (5.1) наближено можна обчислювати за формулою
I?}=Pm (x) dx, (5.2)
яка називається квадратурної формулою інтерполяційного типу.
5.1 Метод прямокутників
На кожному відрізку [xi, xi + 1], i=0,1,2, ..., n - 1 функція f (x) замінюється поліномом нульового ступеня P0 (x)=f (xi).
Тому наближено I обчислюється за формулою (див. рис. 5.1):
I ?? =f (x i) (xi + 1-x i). (5.3)
Величина помилки? I? -I? визначається помилкою інтерполювання? f (x) -Pm (x)? на відрізку [а, b] і може бути представлена ??у формі
R (f)=(x-x1) (x-x2) ... (x-xn) f (n) (x) dx, (5.4)
Знаходження точного значення R (f) утрудняє та обставина, що не відома залежність x від x. Однак, якщо відома похідна порядку n, то її завжди можна оцінити
? f (n) (x) ?? Mn, x? [а, b].
(b-a) 2
? I-I ??? ??? M1, (5.5)
n
де M1=max? f? (x)? - найбільше значення модуля першої похідної f (x) на відрізку [a, b].
y
=f (x)
(x0) f (x1)
x0=a x1 x2 ... xn - 1 xn=b x
Рис. 5.1. Метод прямокутників.
Для рівновіддалених вузлів формула (5.5) має наступний вигляд:
I? =H f (xi), h=xi + 1-x i (5.6)
або I? =H f (xi). (5.7)
Формулу (5.6) називають формулою лівих прямокутників, а (5.7) правих прямокутників.
Програма обчислення інтеграла методом прямокутників представлена ??на рис. 5.2.
REM LR - 5-1, m=13, n=5FNF (X)=2 * X ^ 2 + .10,1,8A, B, N=(BA)/N=0: X=A
S=S + FNF (X) * H=X + HX lt; B THEN 1? S=?; S
Рис. 5.2. Програма обчислення інтеграла методом прямокутників.
5.2 Метод трапецій
У цьому методі на кожному відрізку [xi, xi + 1] функція f (x) замінюється поліномом 1-го ступеня P1 (x).
За формулою Лагранжа:
(5.9)
Інтегруючи P1 (x) на відрізку [xi, xi + 1], отримаємо:
P1 (x) dx=(f (xi) + f (xi + 1)) (xi + 1-xi) (5.10)
Підсумовуючи по всіх i (i=0,1, ..., n - 1), одержимо формулу трапецій (див. рис. 5.3):
I? =(F (xi) + f (xi + 1)) (xi + 1-xi) (5.11)
Для рівновіддалених вузлів x0, x1=x0 + h, ..., xn=x0 + nh формула (5.11) приймає наступний вигляд:
I? =H [(f (x0) + f (xn))/2+ f (xi)] (5.12)
y (x0)
(x1)=f (x)
x0=a x1 x2 ... xn - 1 xn=b
Рис. 5.3. Метод трапецій.
Похибка цього методу оцінюється наступним виразом:
...
