? I-I? ?? M2, (5.13)
де M2=max? f? (x)? - найбільше значення модуля другої похідної f? (x) на відрізку [a, b].
Програма обчислення інтеграла методом трапецій представлена ??на рис. 5.4.
REM LR - 5-2, m=13, n=5FNF (X)=2 * X ^ 2 + 0.10,1,8A, B, N=(BA)/N=(FNF (A) + FNF (B))/2=A + H
S=S + FNF (X)=X + HX lt; B THEN 1=S * H? S=?; S
Рис. 5.4. Програма обчислення інтеграла методом трапецій.
Метод парабол (Сімпсона)
Інтервал [a, b] розділимо на 2n відрізків. Групуючи вузли трійками xi - 1, xi, xi + 1, на кожному відрізку [xi - 1, xi + 1] i=1,3, ..., 2n - 1 інтерполіруя функцію f (x) поліномом 2-го ступеня P2 (x):
За формулою Лагранжа:
P2 (x)=f (xi - 1) + f (xi) +
+ f (xi + 1).
Інтегруючи P2 (x) на відрізку [xi - 1, xi + 1], отримаємо:
P2 (x) dx=[f (xi - 1) + 4f (xi) + f (xi + 1)]. (5.14)
Підсумовуючи формулу (5.14) по всіх n блокам, отримуємо формулу для наближеного інтегрування (див. рис.5.5):
? =[(F (x2k) + 4f (x2k + 1) + f (x2k + 2)] (5.15)
Похибка методу Сімпсона оцінюється формулою:
? I-I? ?? M4, (5.16)
де M4=max? fIV (x)? - найбільше значення модуля четвертої похідною fIV (x) на відрізку [a, b].
y (x0)
(x1) (x2) y=f (x)
x0=a x1 x2 ... x2n - 1 x2n=b
Рис. 5.3. Метод парабол (Сімпсона).
Приклад: Потрібно обчислити визначений інтеграл методами прямокутників, трапецій і парабол:
I=(2x2 + 0,1) dx
Рішення: Виберемо на відрізку інтегрування [0,1] n=8 різних вузлів
=x0 lt; x1 lt; x2 lt; ... x7 lt; x8=1
Крок розбиття для рівновіддалених вузлів h=xi + 1-xi визначаємо за формулою
h=(b-a)/n=(1-0)/8=0,125
Тоді визначений інтеграл наближено можна обчислювати за формулою лівих прямокутників
I? =H (2xi2 + 0,1)
або за формулою правих прямокутників
I? =H (2xi2 + 0,1)
Визначений інтеграл обчислимо за формулою трапецій
I? =H [(f (x0) + f (xn))/2+ f (xi)]
Визначений інтеграл обчислимо за формулою парабол
I? =[(F (x2k) + 4f (x2k + 1) + f (x2k + 2)]
Результати рішення наводяться в таблиці 5.3
Таблиці 5.3
ixif (xi) hf (xi) Метод лівих прямоуголь-ніковМетод правих прямоуголь-ніковМетод трапеційМетод парабол000,10,01250,012500,006250,00416710,1250,131250,0164060,0164060,0164060,0164060,02187520,250,2250,0281250,0281250,0281250,0281250,0187530,3750,381250,0476560,0476560,0476560,0476560,06354240,50,60,0750,0750,0750,0750,0550,6250,881250,1101560,1101560,1101560,1101560,14687560,751,2250,1531250,1531250,1531250,1531250,10208370,8751,631250,2039060,2039060,2039060,2039060,271875812,10,262500,26250,131250,0875Ответ0,6468750,8968750,7718750,766667
Програма обчислення інтеграла методом парабол (Сімпсона) представлена ??на рис. 5.6.
CLSLR - 5-3, m=13, n=5FNF (X)=2 * X ^ 2 + 0.10,1,4A, B, N=(BA)/N/2=0 =A
S=S + H * (FNF (X) + 4 * FNF (X + H) + FNF (X + 2 * H))/3=X + 2 * HX lt; BH THEN 1 ? S =? ; S
Рис. 5.6. Програма обчислення інтеграла методом парабол (Сімпсона).
6. Рішення задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
Залежно від числа незалежних змінних диференціальні рівняння діляться на дві категорії:
звичайні диференціальні рівняння, що містять одну незалежну змінну;
рівняння з приватними похідними, що містять кілька незалежних змінних.
звичайних диференціальних рівнянь називаються такі рівняння, які містять одну або кілька похідних від шуканої функції y=y (x):
F (x, y, y?, ..., y (n))=0, (6.1)
де х - незалежна змінна, n - порядок диференціального рівняння.
Рівняння першого і другого порядків записуються у вигляді:
F (x, y, y?)=0, F (x, y, y?, y ??)=0.
Записи: y? =f (x, y), y ?? =f (x, y, y?) (6.2)
називаються рівняннями, дозволеними відносно старшої похідної.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння, лінійне відносно шуканої функції і її похідних. Наприклад,
y?- X2 y=sin (x) - лінійне рівняння першого порядку.
Рішенням диференціального рівняння (6.1) називається всяка функція y=j (x), яка після її підстановки в рівняння перетворює її в тотожність.
