МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ ТА ЗВ'ЯЗКУ УКРАЇНИ
Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна
Кафедра: «КИТ»
Лабораторна робота №1
з дисципліни: «Алгорітмірованіе обчислювальних процесів»
по темі:
«Інтерполяція функцій»
Виконав: студент 935 групи
Рябека А. А.
Перевірила:
Шаповал И. В.
Дніпропетровськ
Лабораторна робота №1.
Тема:
«Інтерполяція функцій»
Мета:
Навчитися інтерполювати функції методом Ла-Гранжа. Написати програму, яка буде інтерполювати задану функцію цим методом.
План
1.Теория
2.Постановка завдання.
.Алгорітм завдання (схема Насс-Шнайдерман).
.Текст програми.
.Візуальная оболонка.
.Приклад роботи.
.Вивод.
1. Теорія
Інтерполяція
У розрахунках часто потрібно встановити функцію f (x) для всіх значень х відрізка [a, b], якщо відомі її значення в деякому кінцевому числі точок цього відрізка. Одним із способів наближення функції є інтерполяція.
Завдання інтерполяції може виникнути в практиці при:
інтерполяції табличних даних;
отриманні функціональної залежності за експериментальними даними, представленим у табличній формі;
заміні складною з обчислювальної точки зору функції, більш простою залежністю;
при диференціюванні та інтегрування.
Постановка завдання
Нехай на відрізку [x0, xn] задані n + 1 точки x0, x1, x2, ..., xn, звані вузлами інтерполяції, і значення деякої інтерпольованої функції y=f (x) в цих точках, тобто є таблиця експериментальних значень функції y=f (x): y0, y1, y2 ..... yn.
=f (x0); y1=f (x1);...; yn=f (xn). (1.1)
Потрібно знайти значення цієї функції для проміжних значень аргументу, не збігаються з наведеними в таблиці. Отримати аналітичний вираз функції y=f (x) по таблиці її значень (1.1) в більшості випадків неможливо. Тому замість неї будують іншу функцію, яка легко обчислюється і має ту ж таблицю значень, що і f (x), тобто.
(x0)=f (x0)=y0,
......................... (1.2)
.......................... (xi)=f (xi)=yi, де i=0, 1,2, ..., n.
Таку задачу називають задачею інтерполяції. Точки xi називаються вузлами інтерполяції, функція f (x) - інтерпольованої функцією, многочлен Pm (x) - інтерполяційним многочленом. Завданням інтерполяції, у вузькому сенсі слова, вважають знаходження наближених значень табличній функції при аргументах x, не збігаються з вузловими. Якщо значення аргументу x розташоване між вузлами x0 lt;=x lt;=xn, то знаходження наближеного значення функції f (x) називається інтерполяцією, якщо аппроксимирующую функцію обчислюють поза інтервалу [x0, xn], то процес називають екстраполяцією. Походження цих термінів пов'язане з латинськими словами inter - між, всередині, pole - вузол, extra - поза.
Графічно завдання інтерполяції полягає в тому, щоб побудувати таку интерполируют функцію, яка б проходила через всі вузли інтерполяції.
Близькість інтерполяційного многочлена до заданої функції полягає в тому, що їх значення співпадають на заданій системі точок.
При вирішенні завдання інтерполювання зазвичай приймається, що:
інтерпольованої функція неперервна на відрізку [a, b] і в кожній точці має кінцеві похідні будь-якого порядку;
вузли інтерполяції відмінні один від одного.
Інтерполяційний поліном у формі Лагранжа
Висновок формули
Отже, ми шукаємо поліном Ln (x) ступеня не вище n, значення якого збігаються зі значеннями yk заданої функції? (x) у вузлах xk, де k=1,2, ..., n +1 і всі вузли різні.
Одним із способів записи інтерполяційного полінома є форма Лагранжа. Припустимо, що для k=1,2, ..., n + 1 функції Фn (x) є поліномами ступеня n, які мають наступну властивість
Тоді поліном
буде ...
