Міністерство освіти і науки РФ
Пензенська ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра «Прикладна математика та дослідження операцій в економіці»
Контрольна робота
з дисципліни «Дискретна математика. Методи оптимізації. Чисельні методи »
на тему «Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь»
Зміст
Введення
. Постановка завдання
. Теоретичні відомості
.1 Метод Рунге-кутти
.2 Апріорний вибір кроку інтегрування
. Рішення завдання
Висновок
Список літератури
Програми
Введення
У процесі виконання даної контрольної роботи була написана програма Matlab, основним завданням якої є вирішення системи ОДУ методом Рунге-кутти 4-5 порядку. Система ОДУ була вирішена по рівняннях і даними, заданих відповідно до варіанту. Також було реалізовано рішення системи ОДУ стандартним вирішувачів MATLAB - функцією ode45. Результат її вирішення зрівняний з результатом написаної програми в точці T/2. Відносні похибки, отримані в результаті порівняння, занесені в таблицю похибок. Також був створений відеофайл формату AVI за допомогою функції VideoWritter, в якому показано рух точки в декартовій системі координат. Даний відеофайл був записаний на диск формату DVD-RW.
програма Рунге інтегрування рівняння
1. Постановка завдання
Мета роботи.
Навчитися вирішувати системи звичайних диференціальних рівнянь в програмі Matlab, навчитися реалізовувати алгоритми кроку інтегрування, будувати тривимірний графік руху точки в декартовій системі координат і реалізовувати графік руху в відеофайл.
Завдання на контрольну роботу.
) Вирішити задану систему звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ) методом Рунге-кутти 4-5-го порядку, розробивши власну програму в Matlab у вигляді m-файлу, а також вирішити завдання за допомогою решателя Matlab (використовувати як еталонне рішення).
) У розробленій програмі реалізувати вибір кроку інтегрування за алгоритмами, наведеними відповідно до заданого варіантом. При вирішенні стандартним вирішувачів Matlab, використовувати автоматичний крок.
) Рішення, отримане за допомогою розробленої програми, порівняти з еталонним рішенням у точці. Результати порівняння представити у вигляді таблиці відносних похибок рішення. Зробити висновки про точність рішення.
4) Побудувати окремо графіки,,, а також тривимірний графік руху точки в декартовій системі координат засобами Matlab.
) Створити відеофайл рішення задачі, використовуючи функцію VideoWriter: рух точки в тривимірній декартовій системі координат (представити на CD).
Індивідуальне завдання.
Таблиця 1
№ п/пСістема ОДУНачальние условіяГранічние условіяМетод вибору кроку інтегрірованія240.0
0.1
0.06.0
Апріорний
2. Теоретичні відомості
. 1 Метод Рунге-кутти
Методи Рунге-кутти - важливе сімейство чисельних алгоритмів рішення звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. Дані ітеративні методи явного і неявного наближеного обчислення були розроблені близько 1900 року німецькі математиками К. Рунге і М.В. Кутті.
Формально, методом Рунге - кутти є модифікований і виправлений метод Ейлера, вони являють собою схеми другого порядку точності. Існують стандартні схеми третього порядку, які не отримали широкого розповсюдження. Найбільш часто використовується і реалізована в різних математичних пакетах стандартна схема четвертого порядку. Іноді при виконанні розрахунків з підвищеною точністю застосовуються схеми п'ятого і шостого порядків. Побудова схем більш високого порядку пов'язане з великими обчислювальними труднощами. Методи сьомого порядку повинні мати дев`ять стадій, в схему восьмого порядку входить 11 стадій. Хоча схеми дев'ятого порядку не мають велику практичної значущості, невідомо, скільки стадій необхідно для досягнення цього порядку точності. Аналогічне завдання існує для схем десятого і більш високих порядків.
Метод Рунге-кутти четвертого порядку настільки широко поширений, що його часто називають просто методом Рунге-кутти.
Тоді наближене значення в подальших точках обчислюється за ітераційної формулою:
Обчислення нового значення проходить в чотири стадії:
