Рішення систем диференціальних рівнянь методом Рунге - Кутта 4 порядку
Курсова робота з дисципліни: Математичні методи і моделі в розрахунках на ЕОМ
Виконав: студент гр. ХТ-96 Кузнецов М.В.
Міністерство освіти України
Донецький державний технічний університет
Кафедра хімічної технології палива
р. Донецьк 1998
Введення
Звичайні диференціальні рівняння (ОДУ) широко використовуються для математичного моделювання процесів і явищ у різних галузях науки і техніки. Перехідні процеси в радіотехніці, кінетика хімічних реакцій, динаміка біологічних популяцій, рух космічних об'єктів, моделі економічного розвитку досліджуються за допомогою ОДУ.
У диференціальне рівняння n-го порядку в якості невідомих величин входять функція y (x) та її перші n похідних по аргументу x
j (x, y, y1, ... y (n) ) = 0. 1.1
З теорії ОДУ відомо, що рівняння (1.1) еквівалентно системі n рівнянь першого порядку
jk (x, y1, y1 ', y2, y2', ... , Yn , Yn ') = 0. 1.2
де k = 1, ... , N. p> Рівняння (1.1) і еквівалентна йому система (1.2) мають нескінченну безліч рішень. Єдині рішення виділяють за допомогою додаткових умов, яким повинні задовольняти шукані рішення. Залежно від виду таких умов розглядають три типи завдань, для яких доведено існування та єдиність рішень.
Перший тип - це задачі Коші, або задачі з початковими умовами. Для таких завдань крім вихідного рівняння (1.1) у деякій точці xo повинні бути задані початкові умови, тобто значення функції y (x) та її похідних
y (x0) = y0 ' , Y '(x0) = y10, ... , Y (n-1) (x0) = yn-1, 0. p> Для системи ОДУ типу (1.2) початкові умови задаються у вигляді
y1 (x0) = y10 , Y2 (x0) = y20, ... , Yn (x0) = yn0. 1.3
До другого типу задач ставляться так звані граничні, або крайові задачі, в яких додаткові умови задаються у вигляді функціональних співвідношень між шуканими рішеннями. Кількість умов має збігатися з порядком n рівняння або системи. Якщо рішення задачі визначається в інтервалі x є [x0 , Xk], то такі умови можуть бути задані як на кордонах, так і всередині інтервалу. Мінімальний порядок ОДУ, для яких може бути сформульована гранична завдання, дорівнює двом.
Третій тип завдань для ОДУ - це задачі на власні значення. Такі завдання відрізняються тим, що крім шуканих функцій y (x) та їх похідних в рівняння входять додатково m невідомих параметрів l1, l2, Вј, хm, які називаються власними значеннями. Для єдиності рішення на інтервалі [x0, xk] необхідно задати m + n граничних умов. Як приклад можна назвати задачі визначення власних частот, коефіцієнтів дисипації, структури електромагнітних полів і механічних напружень в коливальних системах, завдання знаходження фазових коефіцієнтів, коефіцієнтів затухання, розподілу напруженостей полів хвильових процесів і т.д.
До чисельному рішенням ОДУ доводиться звертатися, коли не вд...
