Міносвіти Росії
Федеральне державне бюджетне освітня установа
вищої професійної освіти
Хакаський державний університет ім. Н.Ф. Катанова
Інститут інформаційних технологій та інженерної освіти
Кафедра інформаційних систем і технологій
Лабораторна робота №3
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Виконав:
Студент групи 41
Юшин Андрій
Перевірила:
Молчанова Е.А.
Абакан, 2013
Завдання
Система рівнянь:
(1)
. Вирішити систему рівнянь з точністю e=0.001 методом Гаусса з мінімізацією нев'язки і методом простих ітерацій.
. Знайти для матриці коефіцієнтів визначник.
Рішення
Рішення системи методом Гаусса
Метод Гаусса є найбільш поширеним методом вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У його основі лежить ідея послідовного виключення невідомих.
Нехай (ведучий елемент). Перше рівняння системи (1) залишимо без зміни, а з другого рівняння віднімемо перше рівняння, домноженное на, одержимо:
де
Такі ж перетворення проробимо з третім і четвертим рівнянням:
(2)
Проводячи аналогічні перетворення з метою виключення, де n=4, наведемо систему до трикутного вигляду:
(3)
Наведена послідовність дій носить назву прямого ходу.
Значення змінної х4 визначається з четвертого рівняння:
Підставивши отримане значення в третє рівняння системи (3), можна знайти значення х3, а потім з другого і першого рівнянь можна знайти значення змінних х2 і х1 відповідно
Таким чином, рішення системи розпадається на два етапи:
1. Прямий хід: приведення системи (2) до трикутного вигляду.
2. Зворотний хід: визначення значень невідомих по рівняннях системи (3).
Скориставшись даним методом, знайдемо значення змінних для системи рівнянь (1).
Запишемо систему у вигляді розширеної матриці:
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Працюємо зі стовпцем №1
Помножимо 3-й рядок на (m=- 2.51/5.77=- 0.435) і додамо до четвертого:
7.4219.0311.75-8.32-49.496.3611.75103.64-41.75.777.426.36-2.69-27.670-12.868-10.687-3.1254.427
Помножимо друге рядок на (m=- 5.77/6.36=- 0.907) і додамо до 3-ої:
7.4219.0311.75-8.32-49.496.3611.75103.64-41.70-3.24-2.712-5.99210.1620-12.868-10.687-3.1254.427
Помножимо перше рядок на (m=- 6.36/7.42=- 0.857) і додамо до другого:
7.4219.0311.75-8.32-49.490-4.561-0.071410.7710.720-3.24-2.712-5.99210.1620-12.868-10.687-3.1254.427
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:
Працюємо зі стовпцем №2
Помножимо 3-й рядок на (m=- 3.24/4.561=- 0.71) і додамо до четвертого:
7.4219.0311.75-8.32-49.490-12.868-10.687-3.1254.4270-4.561-0.071410.7710.7200-2.662-13.6439.65
Помножимо друге рядок на (m=- 4.561/12.868=- 0.354) і додамо до 3-ої:
7.4219.0311.75-8.32-49.490-12.868-10.687-3.1254.427003.71711.877-18.57300-2.662-13.6439.65
Працюємо зі стовпцем №3
Помножимо 3-й рядок на (m=2.662/3.717=0.716) і додамо до четвертого:
7.4219.0311.75-8.32-49.490-12.868-10.687-3.1254.427003.71711.877-18.573000-5.138-3.65
Отримаємо одиниці на головній діагоналі. Для цього весь рядок ділимо на відповідний елемент головної діагоналі:
Тепер вихідну систему можна записати як:
=- 6.67 - (2.56x2 + 1.58x3 - 1.12x4)=- 4.23 - (0.83x3 + 0.24x4)=- 5 - (3.2x4)=0.71
З четвертим рядки висловлюємо x4
З 3-го рядка висловлюємо x3
З другого рядка висловлюємо x2
<...
