Курсова робота
Поняття фракталів, закони еволюції нелінійних динамічних фрактальних середовищ і систем біології
Введення
«Синергетика» походить від грецького «сінергетікос» - спільний, узгоджено діючий. Цей науковий напрям, що вивчає зв'язки між елементами структури (підсистемами), які утворюються у відкритих системах (біологічних, фізико-хімічних та інших) завдяки інтенсивному (потоковому) речовиною та енергією з навколишнім середовищем в нерівноважних умовах [5].
На першому етапі розвитку під синергетикою розуміли область наукових досліджень, метою яких було виявлення загальних закономірностей у процесах освіти, стійкості і руйнування впорядкованих часових і просторових структур у складних нерівноважних системах різної природи: фізичних, хімічних, біологічних, соціальних і т.д. [11].
Фрактал - безліч, розмірність якого відрізняється від звичайної розмірності, званої топологічної. Б. Мандельброт дає й інше визначення: фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілого. Суворого і вичерпного визначення фракталів поки не існує [2].
1. Фрактали
Термін «фрактал» (від лат. fractare - ламати, дробити; fractus - розчленований, розбитий; англ. fractal - дробовий) ввів Бенуа Мандельброт, він же Б. Мандельбро (Benoit Mandelbrot), що народився в Варшаві (1924 р), що працював у Франції та США.
Згідно з визначенням Б. Мандельброта, фракталом називається безліч, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якого суворо більше його топологічної розмірності. Простіше кажучи, фрактал - безліч, розмірність якого відрізняється від звичайної розмірності, званої топологічної. Б. Мандельброт дає й інше визначення: фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілого. Суворого і вичерпного визначення фракталів поки не існує.
Фрактальна структура утворюється шляхом нескінченного повторення (ітерації) якої-небудь вихідної форми в усі уменьшающемся (або увеличивающемся) масштабі за певним алгоритмом, тобто відповідно до певної математичної процедурою. Цей нескладний процес зі зворотним зв'язком дає вражаюче різноманітний морфогенез, нерідко подібний створенню природних форм. Таким чином, фрактали характеризуються самоподібності, або масштабної инвариантностью, тобто однаковістю в широкому діапазоні масштабів [12].
Мандельброт звернув увагу на те, що досить широко поширена думка про те, ніби розмірність є внутрішньою характеристикою тіла, поверхні, тіла або кривої невірно (насправді, розмірність об'єкта залежить від спостерігача, точніше від зв'язку об'єкта з зовнішнім світом).
Суть справи неважко усвідомити з наступного наочного прикладу. Уявімо собі, що ми розглядаємо клубок ниток. Якщо відстань, яка відділяє нас від клубка, досить велике, то клубок ми бачимо як точку, позбавлену якої б то не було внутрішньої структури, тобто геометричний об'єкт з евклідової (інтуїтивно сприйманої) розмірністю. Наблизивши клубок на деяку відстань, ми будемо бачити його як плоский диск, тобто як геометричний об'єкт розмірності 2. Наблизившись до клубка ще на кілька кроків, ми побачимо його у вигляді кульки, але не зможемо розрізнити окремі нитки - клубок стане геометричним об'єктом розмірності 3. При подальшому наближенні до клубка ми побачимо, що він складається з ниток, т.е. евклидова розмірність клубка стане рівною 1. Нарешті, якби роздільна здатність наших очей дозволяла нам розрізняти окремі атоми, то, проникнувши всередину нитки, ми побачили б окремі точки - клубок розсипався б на атоми, став геометричним об'єктом розмірності.
Але якщо розмірність залежить від конкретних умов, то її можна вибирати по-різному. Математики накопичили досить великий запас різних визначень розмірності. Найбільш раціональний вибір визначення розмірності залежить від того, для чого ми хочемо використовувати це визначення. (Ситуація з вибором розмірності цілком аналогічна ситуації з питанням: «Скільки пальців у мене на руках: 3 + 7 або 2 + 8?» До тих пір, поки ми не надумали надіти рукавички, будь-яка відповідь можна вважати однаково правильним. Але варто лише натягнути рукавички, як відповідь на питання стає однозначною: «5 + 5».) [3].
Мандельброт запропонував використовувати в якості запобіжного «нерегулярності» (порізаності, звивистості і т.п.) визначення розмірності, запропоноване Безікович і Хаусдорфа. Фрактали (неологізм Мандельброта) - це геометричний об'єкт з дробовою розмірністю Безиковича-Хаусдорфа. Дивний аттрактор Лоренца - один з таких фракт...
