алів.
Розмірність Безиковича-Хаусдорфа завжди не менш евклідової і збігається з останньою для регулярних геометричних об'єктів (для кривих, поверхонь і тіл, що вивчаються в сучасному підручнику евклідової геометрії). Різниця між розмірністю Безиковича-Хаусдорфа і евклідової - «надлишок розмірності» - може служити мірою відмінності геометричних образів від регулярних. Наприклад, плоска траєкторія броунівський частинки має розмірність по Безікович-Хаусдорфу 1. більше 1, але менше 2: ця траєкторія вже не звичайна гладка крива, але ще не плоска фігура. Розмірність Безиковича-Хаусдорфа дивного аттрактора Лоренца більше 2, але менше 3: аттрактор Лоренца вже не гладка поверхня, але ще не об'ємне тіло.
Про ступінь впорядкованості або невпорядкованості («хаотичності») руху можна судити і по тому, наскільки рівномірно розмазаний спектр, чи немає в ньому помітно виражених максимумів і мінімумів. Ця характеристика лежить в основі так званої топологічної ентропії, яка є, як і її статистичний прототип, мірою хаотичності рухів.
Існують і інші характеристики, що дозволяють судити про впорядкованість хаосу.
Як не парадоксально, новий напрямок, настільки успішно справляється із завданням наведення порядку в світі хаосу, істотно менше досягло успіхів у наведенні порядку серед структур.
Зокрема, при пошуку і класифікації структур майже не використовується поняття симетрії, що грає важливу роль у багатьох розділах точного і описового природознавства.
Так само як і розмірність, симетрія істотно залежить від того, які операції дозволяється проводити над об'єктом. Наприклад, будова тіла людини і тварин має білатеральної симетрією, але операція перестановки правого і лівого фізично не здійсненна. Отже, якщо обмежитися тільки фізично здійсненними операціями, то білатеральної симетрії не буде. Симетрія - властивість негрубі: невелика варіація об'єкта, як правило, знищує весь запас властивою йому симетрії.
Якщо визначення симетрії вибрано, то воно дозволяє встановити між досліджуваними об'єктами відношення еквівалентності. Всі об'єкти поділяються на непересічні класи. Всі об'єкти, що належать одному і тому ж класу, можуть бути переведені один в одного належно обраної операцією симетрії, у той час як об'єкти, що належать різним класам, ні однією операцією симетрії один в одного переведені бути не можуть.
Симетрію варто шукати не тільки у фізичному просторі, де розігрується процес структуроутворення, але і в будь-яких просторах, які містять «портрет» системи.
У роботі зроблена спроба сформулювати вимоги симетрії, яким повинна задовольняти біологічна система. На думку автора, «суть справи тут полягає в еволюційному пристосуванні біологічних систем організмів до фізичних і геометричним характеристикам зовнішнього світу, в якому вони себе« проявляють ». Біомеханіка рухів скелета, «константності» психології сприйняття, біохімічні універсалії життєвих процесів, руху і потоки, пов'язані з морфогенезом, - все це реакції окремих видів організмів на відповідні інваріантності, властиві Геометрика-фізико-хімічними характеристиками зовнішнього середовища, які організми «зуміли» ідентифікувати і включити в свою філогенію в процесі еволюції. Чим більше інваріантних, регулярних властивостей свого зовнішнього світу зміг розпізнати і «врахувати» організм, тим більше хаосу вдається йому усунути із зовнішнього середовища, що в койне решт забезпечує його переваги з точки зору прийняття рішень, зменшення фрустрації, домінування і, по суті, виживання »[13].
Класифікувати структури можна і за ступенем їх складності. Однак і в цьому напрямку зроблені лише перші кроки.
Складність поведінки навіть простих моделей (термін «елементарних» стосовно до цих моделей так само, як і у випадку елементарних частинок, відображає швидше рівень наших знань про них, ніж їх справжню складність) навела дослідників на думку звернутися до аксиоматическому методу з тим, щоб, слідуючи Гильберту, відокремити суттєві особливості моделі від несуттєвих, випадкових і тим самим полегшити побудову моделей, що відтворюють потрібний режим поведінки.
С. Улам та інші автори розглянули відображення площині на себе, вироблені за певними правилами (аксіомам). Найбільш ефектним виявилося відображення, запропоноване Копуеем, - його знаменита гра «Життя» [7].
Грають на площині, розбитою на квадратні клітини одного і того ж розміру. Кожна клітина може перебувати в одному з двох станів: або бути зайнятою (наприклад, фішкою), або порожній. Початковий стан (початкова розстановка фішок) може бути вибрана довільно. Наступні стану клітин залежать від зайнятості сусідніх клітин на попередньому ходу. Сусідніми вважаються восьмій клітин, що безпосередньо ...
