p> З першого рядка висловлюємо x1
Метод мінімізації нев'язки
Позначимо через наближене рішення системи рівнянь, отримане методом Гаусса. Підставами це наближене рішення в систему і обчислимо праві частини:
Так як відрізняються від істинного значення, то і, будуть відрізнятися від.
Різниця між вихідним стовпцем вільних членів і получившимся при підстановці знайденого вектора невідомих, будемо називати нев'язкої:
Нехай - точне рішення системи, а - похибка, що виникла в результаті округлень при вирішенні системи методом Гаусса. Невязка виникла саме через похибки невідомих. Якщо найбільше за модулем значення перевищує необхідну точність, необхідно знайти більш точне рішення системи.
Підставами в систему замість стовпця вільних членів стовпець нев'язок, а замість змінних хi - невідомі поправки:
(4)
Вирішуючи цю систему, отримуємо значення і нове наближене рішення системи:
Якщо значення всіх похибок менше заданої точності, тобто , То отримане наближення змінних можна вважати шуканим рішенням системи, знайденим із заданою точністю.
В іншому випадку, підставляємо в систему, знаходимо нові невязки, знаючи які знаходимо нові поправки, за допомогою яких обчислюємо наступне наближення. Процес продовжують до тих пір, поки не буде досягнута необхідна точність, тобто всі поправки не стануть досить малими:.
Застосовуючи даний метод знайдемо нові значення змінних відповідно із заданою точністю=0.001 і отриманими поправками:
В (0) =; Х (0)=
В (1)=
Отримаємо невязки:
Підставляємо ці нев'язки в стовпець вільних членів
Вирішуючи дану систему методом отримаємо похибка:
Тоді за формулою знайдемо значення змінних з урахуванням похибки:
рівняння гаус матриця нев'язка
Так як похибка не задовольняє умові, значить потрібно продовжить процес мінімізації. В результаті за 3 процесу мінімізації нев'язок вийшли наступні значення змінних:
Укрупненная блок-схема методу представлена ??в додатку 1
Метод простої ітерації або метод Якобі
Нагадаємо, що нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, яка в матричному вигляді записується як:
,
де,,.
Припустимо, що діагональні елементи матриць A вихідної системи не рівні 0 (aii? 0, i=1, 2, ..., n). Дозволимо перше рівняння системи щодо x1, друге щодо x2 і т.д. Отримаємо наступну еквівалентну систему, записану в скалярному вигляді:
(4),
Тепер, задавши нульове наближення, по рекурентним співвідношенням (4) можемо виконувати ітераційний процес, а саме:
(5)
Аналогічно знаходяться наступні наближення, де в (5) замість необхідно підставити.
Або в загальному випадку:
. (3)
або
Умова закінчення ітераційного процесу
.
Достатня умова збіжності: Якщо виконана умова діагонального переважання, т.е.
,
то ітераційний процес (3) сходиться при будь-якому виборі початкового наближення. Якщо вихідна система рівнянь не задовольняє умові збіжності, то її приводять до вигляду з діагональним переважанням.
Вибір початкового наближення впливає на кількість ітерацій, необхідних для отримання наближеного рішення. Найбільш часто в якості початкового наближення беруть або.
Зауваження. Зазначене вище умова збіжності є достатнім, тобто якщо воно виконується, то процес сходиться. Однак процес може сходитися і при відсутності діагонального переважання, а може і не зійтися.
Перейдемо ж безпосередньо до розв'язання системи (1) методом простих ітерацій, для цього спочатку треба перевірити умова збіжності системи
,
| 6.36 | lt; | 11.75 | + | 10 | + | 3.64 |
| 19.03 | lt; | 7.42 | + | 11.75 | + | - 8.32 |
| 6.36 | lt; | 5.77 | + | 7.42 | + | - 2.69 |
| - 4.29 | lt; | 2.51 | + | - 9.64 | + | - 7.92 |
