Федеральне державне автономне
освітня установа
вищої професійної освіти
«Сибірський федеральний університет»
Інститут нафти і газу
Кафедра паливозабезпечення і горючесмазочних матеріалів
ЗВІТ ПО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТІ
Метод найменших квадратів
Викладач Є.Г. Агафонов
Студент А.Л. Багнетів
Красноярськ 2014
Зміст
Мета роботи
Вихідні дані і постановка задачі
. Рішення без допомоги програмування
. Рішення за допомогою методу програмування
Висновок
Список використаних джерел
Мета роботи
На основі пропонованого матеріалу провести розрахунки за допомогою методу найменшого квадрата для визначення мольной теплоємності. Побудувати графіки отриманих функцій і вибрати з них найбільш підходящий до побудованим точкам.
Вихідні дані і постановка задачі
Варіант 1
- мольна теплоємність, Y - температура
XY0.0000129.27415029.6661110029.9301315030.277120030632225030.914130031.586235031.698040031.030245032.462250032.894255032.026260033.008265033.790270033.492375034.943680034.586385034.918390035.250395035.68043100035.9141
Відомо, що як би ретельно ми не проводили досліди або вимірювання, завжди в результаті присутній помилка. І, якщо ми говоримо, що процес змінюється за експоненціальним законом (див. Приклад на Малюнок 1), то це означає, що результати вимірів будуть лежати не на кривій, а біля неї (вище або нижче кривої). Крім того, одні й ті ж експериментальні дані можна наблизити або описати різними кривими, однак, серед усіх кривих того чи іншого типу важливо знайти таку, щоб відстань, (або сума відстаней) від точок на площині (результатів досвіду) до даної кривої було мінімальним. Тобто, щоб виконувалася така умова:. Однак, так як значення результатів досвіду можуть знаходитися як вище, так і нижче кривої, то розглядають не суму різниць (яка в цьому випадку може прийняти нульове або негативне значення при великих відхиленнях шуканої функції від результатів досвіду), а суму квадратів різниць значень шуканої функції та отриманих даних:
. (1)
Так як функцій одного виду може бути нескінченно багато (наприклад ця функція визначена для будь-яких a і b з безлічі дійсних чисел), то єдиність функції визначається саме значеннями параметрів. Тому замість (1), будемо розглядати функцію, залежну від двох аргументів, які треба визначити, а саме а і b:
. (2)
Відомо, що функція (в даному випадку це) приймає мінімальне значення в точці, де її похідна дорівнює нулю, тобто повинні виконуватися умови:
(3)
Нехай шукана функція має вигляд:, тобто є лінійною функцією. Тепер, нам необхідно серед всіх функцій цього виду знайти, такі, щоб виконувалася умова (3). Для цього обчислимо похідні правої і лівої частини виразу (2), яке для нашої задачі прийме вигляд:
(4)
Диференціювання по а і b дасть нам систему лінійних рівнянь з двома невідомими щодо а і b:
Замінивши тут на nb, і розділивши обидві частини рівнянь на n, отримаємо:
(5)
Система (5) є системою лінійних рівнянь виду:
тільки невідомими в нашому випадку будуть а і b. Дозволивши цю систему відносно а і b, отримаємо лінійну функцію, яка дає найкраще наближення для наявних вихідних даних.
Якщо ж ми хочемо знайти наближення функцією, то у вихідній таблиці значень потрібно замінити значеннями, наприклад,, потім знову дозволити лінійну систему рівнянь.
Для того щоб переконатися яке з наближень виявилося кращим, потрібно обчислити:
(6)
і, якщо, то найкращим з двох буде друге наближення.
1. Рішення без допомоги програмування
Рішення даними способом представлено нижче (Малюнок 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 і 1.6)
Записуємо вихідні дані
Малюнок 1.1 Вихідні дані
Спираючись на формулу (5) складаємо систему лінійних рівнянь і знаходимо суми. За допомогою функції lsolve знаходимо змінні «a» і «b». Складаємо лінійне рівняння.
Малюнок 1.2 - Рішення систем...
