Завдання 1
Знайти оригінали по заданих зображень
Рішення
По таблиці перетворень і властивостями перетворення Лапласа знайдемо
Де I - одинична функція.
Для визначення перетворення Лапласа від дробу необхідно цю правильну раціональну дріб представити у вигляді найпростіших дробів, які визначаються відповідно до корінням характеристичного рівняння і за якими перетворення Лапласа можна взяти, використовуючи таблиці перетворення. Розглянута дріб розкладається на найпростіші дроби наступним чином:
У результаті розкладання отримана сума найпростіших дробів, коефіцієнти яких визначаються методом невизначених коефіцієнтів, для чого розглядається рівність двох дробів. Дві правильні раціональні дроби рівні між собою, якщо рівні їх чисельники і знаменники. Т.к. знаменники рівні, то, отже, необхідно прирівняти один до одного і чисельники. Прирівнявши в чисельнику коефіцієнти при однакових ступенях параметра s , одержимо систему алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів:
Рішення системи дає наступні коріння : A - 121/11840, B=5 871/11840, C=411/11840, D=- 29/1184, Е=169/7104
Таким чином, вихідна дріб записується у вигляді:
Відповідно з таблицями Перетворень Лапласа оригінал має вигляд:
=
Завдання 2
За допомогою перетворення Лапласа вирішити диференціальне рівняння із заданими початковими умовами
Рішення
При вирішенні рівняння з використанням перетворення Лапласа необхідно його перетворити по Лапласа з урахуванням початкових умов:
Після підстановки початкових умов, отримуємо:
З останнього виразу визначається, яке є рішенням рівняння, але воно записано в термінах перетворення Лапласа. Після спрощення дробу отримуємо такий вираз:
З останнього виразу визначається, яке є рішенням рівняння, але воно записано в термінах перетворення Лапласа. Перший доданок знаходиться за формулами з таблиць, а для визначення перетворення Лапласа від другого доданка необхідно цю правильну раціональну дріб представити у вигляді найпростіших дробів, які визначаються відповідно до корінням характеристичного рівняння і за якими перетворення Лапласа можна взяти, використовуючи таблиці перетворення. Розглянута дріб розкладається на найпростіші дроби наступним чином:
=
У результаті розкладання отримана сума найпростіших дробів, коефіцієнти яких визначаються методом невизначених коефіцієнтів, для чого розглядається рівність двох дробів. Дві правильні раціональні дроби рівні між собою, якщо рівні їх чисельники і знаменники. Т.к. знаменники рівні, то, отже, необхідно прирівняти один до одного і чисельники. Прирівнявши в чисельнику коефіцієнти при однакових ступенях параметра s , одержимо систему алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів:
Рішення системи дає наступні коріння : A=- 12/25, B=12/25, C=- 12/25, D=17/5
Таким чином, вихідна дріб записується у вигляді:
==
За таблицями перетворення Лапласа беремо зворотне перетворення, отримаємо:
+
Функція є рішенням диференціального рівняння
Завдання 3
Вивести передавальну функцію для заданої структурної схеми
Рішення
Для запису передавальної функції складної структурної схеми її необхідно перетворити відповідно до правил перетворення структурних схем. Для того, щоб розв'язати перехресні зв'язки в заданій структурній схемі, перенесемо суматор 1 через суматор 2 і ланка з передавальної функцією W1 (s) відповідно до правил перетворення структурних схем. У результаті проведених перетворень одержимо еквівалентну схему, в якій є послідовне з'єднання і вкладені в один одного з'єднання зі зворотним зв'язком.
автоматичний управління схема функція
Спочатку знайдемо еквівалентні передавальні функції для частини схеми з послідовним з'єднанням зі зворотним зв'язком 2-4 і 2-5
Далі маємо послідовне соеденения ланки з передавальної функцією і еквівалент схеми, в результаті отримуємо:
=
Завдання 4
Дослідити на стійкість систему автоматичного регулювання, схема якої наведена c допомогою критерію Рауса-Гурвіца.
Задані наступні вихідні дані: передавальна функція об'єкта і регулятора:
Рішення
Для дослідження стійкості систем автоматичного регулювання за допомогою критерію Рауса-Гурвіца необхідно знати диференціальне або характеристичне рівняння системи. Знаменник передавальної функції завжди являє собою характеристичний поліном. Тому...
