ої програми, на першому занятті необхідно докладно розповісти учням про завдання на розмальовку і замощення. Після цього необхідно якнайдетальніше розповісти і оформити типові завдання по даній темі.
Приклад 1. На двох клітинах шахової дошки стоять чорна і біла фішки. За один хід можна пересунути будь-яку з них на сусідню по вертикалі або горизонталі клітку (дві фішки не можуть стояти на одній клітці). Чи можуть у результаті таких ходів зустрітися всі можливі варіанти розташування цих двох фішок, причому рівно по одному разу?
Рішення: не можуть. Назвемо розташування фішок одноколірним, якщо вони стоять на клітинах одного кольору, різнобарвним - якщо на клітинах різного кольору. Зауважимо, що при переміщеннях фішок одноколірні та різноколірні розташування чергуються, значить їх повинно бути порівну. Проте загальна кількість різнокольорових розташувань одно, а одноколірних -, так як дві фішки не можуть стояти на одній клітці. Значить, всі можливі розташування зустрітися не можуть.
При вирішенні даної задачі дуже зручно використовувати інтерактивну дошку, щоб наочно показати шахову дошку і під час пояснення нанести необхідні дані.
Приклад 2. Школяр хоче вирізати з квадрата розміром найбільшу кількість прямокутників розміром. Знайти це кількість для кожного натурального.
Рішення: площа квадрата -, а площа прямокутника -. Отже, число вирізаних прямокутників не перевищує
Перетворимо вираз
Отже, при кількість прямокутників, які може вирізати школяр, не перевищує.
В якості приклада, на малюнку 1 зображений спосіб вирізати прямокутників для.
Малюнок 1. Спосіб розрізати квадрат на прямокутники
Залишилося розглянути випадки при.
При необхідно з квадрата вирізати прямокутники. Очевидно, що в цьому випадку відповідь - 2.
При з квадрата необхідно вирізати прямокутники.
Так як, то
Таким чином, можна вирізати не більше п'яти прямокутників (приклад на малюнку 2).
Малюнок 2. Спосіб розрізати квадрат на прямокутники.
При школяр хоче з квадрата вирізати найбільшу кількість прямокутників, розміром
Отримуємо, що число вирізаних прямокутників не перевищує дев'яти.
Припустимо, школяр зміг вирізати дев`ять прямокутників. Це означає, що йому вдалося розрізати квадрат на прямокутники. Ясно, що лінії розрізу паралельні сторонам квадрата, тобто кожна клітина повністю лежить в якомусь прямокутнику. Пронумеруємо клітини дошки, як показано на малюнку 3.
Малюнок 3. Нумерація клітин дошки.
Так як число клітин під номером 1 не дорівнює числу клітин під номером 2, а кожен прямокутник містить по одній клітці кожного номера, то квадрат не можна розрізати на прямокутники.
Отже, число прямокутників не більше як вісім (малюнок 4).
Малюнок 4. Спосіб розрізати квадрат на прямокутники.
Приклад 3. Дошка розбита на одиничних квадратиків. Один з них вирізали так, що утворилася дірка. Чи можна решту дошки покрити рівнобокими прямокутними трикутниками з гіпотенузою довжини 2 так, щоб їх гіпотенузи йшли по сторонах квадратиків, а катети - по діагоналях, і щоб трикутники не налягати один на одного і не звисали з дошки?
Рішення: розфарбуємо дошку чорної та білої фарбою в шаховому порядку. Припустимо, що нам вдалося покрити залишилися 99 одиничних квадратів трикутниками (малюнок 5).
Малюнок 5. Квадрат з вирізаним одиничним квадратом
Зауважимо, що тоді одна половина кожного трикутника біла, а інша - чорна. Таким чином, покрита площа білого кольору дорівнює покритої площі чорного кольору. Але з іншого боку, одна з цих площ на 1 більше іншої (в силу того, що за умовою у нас один квадратик вирізали).
Отримуємо протиріччя, яке показує, що подібне покриття неможливо.
В якості домашнього завдання можна запропонувати завдання, аналогічні вирішеним в класі, а також задачу на роздум, схожі на яку учні ще не вирішували.
Домашнє завдання:
Завдання 1. Дан лист картатій паперу. Кожен вузол сітки позначається деякою буквою. Яким найменшим числом різних букв потрібно позначити ці вузли, щоб на відрізку, що йде по сторонах клітини, що з'єднує два вузли, позначених однаковими буквами, знаходився, принаймні, один вузол, позначений однією з інших бук...
