У 1600 році приїхав до Праги Тихо Браге запропонував Йогану роботу в якості свого помічника для спостережень неба і астрономічних обчислень. Незадовго перед цим Бразі був змушений залишити свою батьківщину Данію і вибудувану їм там обсерваторію, де він протягом чверті століття вів астрономічні спостереження. Ця обсерваторія була забезпечена кращими вимірювальними інструментами, а сам Бразі був искуснейшим спостерігачем.
Коли датський король позбавив Бразі коштів на утримання обсерваторії, він виїхав до Праги. Бразі з великим інтересом ставився до вчення Йоганна Кеплера, але прихильником його не був. Він висував своє пояснення устрою світу; планети він визнавав супутниками Сонця, а Сонце, Місяць і зірки вважав тілами, що обертаються навколо Землі, за якою, таким чином, зберігалося положення центру всього Всесвіту.
Бразі працював разом з Кеплером недовго: в 1601 році він помер. Після його смерті Йоганн Кеплер почав вивчати матеріали, що залишилися з даними довголітніх астрономічних спостережень. Працюючи над ними, особливо над матеріалами про рух Марса, Кеплер зробив чудове відкриття: він вивів закони руху планет, що стали основою теоретичної астрономії.
Філософи Стародавньої Греції думали, що коло - це найдосконаліша геометрична форма. А якщо так, то й планети повинні здійснювати свої звернення тільки по правильним колам (окружностям).
Кеплер прийшов до думки про неправильність усталеного з давнини думки про круговій формі планетних орбіт. Шляхом обчислень він довів, що планети рухаються не по колам, а по еліпсах - замкнутих кривих, форма яких дещо відрізняється від кола. При вирішенні даної задачі Кеплеру довелося зустрітися з випадком, який, взагалі кажучи, методами математики постійних величин вирішене бути не міг. Справа зводилося до обчислення площі сектора ексцентричного кола. Якщо це завдання перевести на сучасний математичний мову, прийдемо до еліптичного інтегралу. Дати рішення задачі в квадратурах Йоганн Кеплер, природно, не міг, але він не відступив перед виниклими труднощами і вирішив задачу шляхом підсумовування нескінченно великого числа «актуалізованих» нескінченно малих. Цей підхід до вирішення важливої ??і складної практичної задачі являв собою в новий час перший крок у передісторії математичного аналізу.
Перший закон Йоганна Кеплера припускає: Сонце знаходиться не в центрі еліпса, а в особливій точці, званої фокусом. З цього випливає, що відстань планети від Сонця не завжди однакове. Кеплер знайшов, що швидкість, з якою рухається планета навколо Сонця, також не завжди однакова: підходячи ближче до Сонця, планета рухається швидше, а відходячи далі від нього - повільніше. Ця особливість в русі планет становить другий закон Кеплера. При цьому І. Кеплер розробляє принципово новий математичний апарат, роблячи важливий крок у розвитку математики змінних величин.
Обидва закони Кеплера стали надбанням науки з 1609 року, коли була опублікована його знаменита «Нова астрономія» - виклад основ нової небесної механіки. Проте вихід цього чудового твору не відразу привернув до себе належну увагу: навіть великий Галілей, мабуть, до кінця днів своїх так і не сприйняв законів Кеплера.
Потреби астрономії стимулювали подальший розвиток обчислювальних засобів математики та їх популяризації. У 1615 році Іоганн Кеплер випустив порівняно невелику за обсягом, але дуже ємну за змістом книгу - «Нова стереометрія винних бочок», в якій продовжив розробку своїх інтеграційних методів і застосував їх для знаходження обсягів більш ніж 90 тіл обертання, часом досить складних. Там же їм були розглянуті і екстремальні завдання, що підводило вже до іншого розділу математики нескінченно малих - диференціального числення.
Необхідність вдосконалення засобів астрономічних обчислень, складання таблиць рухів планет на основі системи Коперника залучили Кеплера до питань теорії і практики логарифмів. Натхнений роботами Непера, Йоганн Кеплер самостійно побудував теорію логарифмів на чисто арифметичної базі і з її допомогою склав близькі до неперово, але більш точні логарифмічні таблиці, вперше видані в 1624 році і перевидавалися до 1700 року. Кеплер ж першим застосував логарифмічні обчислення в астрономії. «Рудольфінскіе таблиці» планетних рухів він зміг завершити тільки завдяки новому засобу обчислень.
Проявлений вченим інтерес до кривих другого порядку і до проблем астрономічної оптики привів його до розробки загального принципу безперервності - своєрідного евристичного прийому, який дозволяє знаходити властивості одного об'єкта за властивостями іншого, якщо перший виходить граничним переходом з другого. У книзі «Доповнення до Вителлию, або Оптична частина астрономії» (1 604) Йоганн Кеплер, вивчаючи конічні перетини, інтерпретує параболу як гіперболу або...
