Тоді безперервний образ f ( F ) компактного безлічі F буде компактний в Y (по теоремі 1.9). Простір Y хаусдорфово, отже, безліч f ( F ) - замкнуто (в силу теореми 1.8). Таким чином, відображення f є замкнутим. ? p>
Слідство 2.1. биективная безперервне відображення f : X В® Y компактного простору X на хаусдорфово простір Y є гомеоморфізмом.
Доказ. Розглянемо довільне замкнутий підмножина F компактного простору X . У силу пропозиції 2.1, образ f ( F ) - замкнутий безліч. Тоді, по теоремі 1.1, відображення f -1 є безперервним, отже, f - гомеоморфізм.Гї
Пропозиція 2.2. Нехай відображення f : X В® Y замкнуто над точкою y ГЋ Y і нехай безліч Z замкнуто в X. Тоді подотображеніе g = f | Z : Z В® Y замкнуто над точкою y. Зокрема, якщо відображення f замкнуто (над кожною точкою y ГЋ Y), то і відображення g замкнуто.
Доказ. Візьмемо довільну точку y ГЋ Y і розглянемо околиця U ГЊ Z шару g -1 ( y ). Тоді в Х знайдеться відкрите безліч U Вў таке, що U = U Вў Z . Безліч O = U Вў ( X Z ) буде околицею шару f -1 ( y ). Відображення f замкнутий над точкою y ГЋ Y , тому знайдеться така околиця Oy точки y , що f -1 ( Oy ) ГЊ O . Тоді g -1 ( Oy ) ГЊ Z O = Z U Вў = U .
У силу довільності вибору точки y ГЋ Y , можна укласти, що якщо відображення f замкнуте над кожною точкою y ГЋ Y , то і відображення g замкнуте над кожною точкою y ГЋ Y . ? p> Пропозиція 2.3. Нехай відображення f : X В® Y замкнуто над точкою < i> y ГЋ T ГЌ Y , де T - довільна безліч в Y . Тоді під-відображення g = f | : f -1 (< i> T ) В® T замкнуто над точкою y . Зокрема, якщо відображення f замкнуто (над кожною точкою y ГЋ T < i>), то і відображення g теж замкнуто (над кожною точкою y ГЋ T ).
Доказ. Візьмемо довільну точку y ГЋ T ГЌ Y і деяку околицю Про шару g - 1 ( y ) ...
