Для того, щоб вирішити цю задачу обчисленням, ми кладемо в основу прямокутну систему координат. При цьому рівняння даних кіл такі:
До 1 ... Х 2 + у 2 =,
K 2 ... (x - a) 2 + Y 2 =
K 3 ... (x + a) 2 + Y 2 =
Рівняння ж кожної з шуканих кіл має вигляд:
(x - p i ) 2 + (y - q i ) 2 = ПЃ i 2 .
Для кола Про 1 (фіг. 3) легко можуть бути отримані три рівняння, визначають три невідомі веліeчіни p 1 , q 1 , ПЃ 1 ; саме, з умов
В
випливають рівності
В
З двох останніх випливає, що p 1 = 0, а звідси вже безпосередньо випливає:
(1)
бо радіус кола Про 2 дорівнює радіусу ПЃ 1 кола Про 1 (фіг. 3).
Окружність Про 3 стосується кіл До 2 і К 3 ззовні, а окружності До 1 - зсередини; таким чином, мають місце рівності
В
Звідси виходить
(2)
Для окружності Про 5 мають місце рівності
В
звідки виходить:
В
Побудова може бути виконано за таким планом. Будуємо по порядку (фіг. 3):
AB = r2, BC = a
тоді
В
якщо потім побудувати
В
Аналогічно побудуємо
В
1. Дуже зручним методом для вирішення геометричних задач на побудову є метод геометричних місць.
Він грунтується на наступному: намагаються звести всю задачу до знаходження деякої точки X, що в більшій частині випадків зробити не важко.
Точка X визначається двома умовами, витікаючими з вимоги завдання. Якщо усунути перше з умов, то існує не одна тільки точка X, але незліченна безліч таких точок, що становлять у сукупності деяку лінію, деякий геометричне місце. Якщо ж усунути друга умова і обмежитися першим, то вийде інше геометричне місце. Кожна точка перетину цих двох геометричних місць задовольняє вимогам завдання.
2. Є необхідним попередньо вивчити деякі геометричні місця. Ми наведемо найбільш прості і разом з тим найбільш вживані з них.
a) Геометричне місце точок, що знаходяться від даної точки на даному відстані, є окружність, описана з цієї точки, як з центру, радіусом, рівним даному віддалі.
b) Геометричне місце точок, що знаходяться на даному відстані від даної прямої, складається з двох прямих, проведених паралельно даній прямій, на даному від неї відстані.
c) Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок А і В, є пряма, перпендикулярна до відрізка АВ в його середині. (Сімметраль точок А і В). p> d) Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих, складається з двох взаємно перпендикулярних прямих ділять навпіл кути між даними прямими (бісектриси).
e) Геометричним місцем точок, з яких відрізок АВ видно під даним кутом а, є дуга окружності, стягувана * відрізком АВ (побудова ясно з фіг. 4).
В
Фіг. 4 Фіг. 5
f) Геометричне місце точок, відстані яких від двох даних точок знаходяться в даному відношенні m: n, є деяка, окружність (фіг. 5)
При цьому
В
Звідки по відомій теоремі виходить, що 1 =
1 PB. p> Має місце також пропорція
AP 1 : P 1 B = AP 2 : BP 2
Чотири такі точки називаються, як відомо, чотирма гармонійними точками.
g) Геометричне місце точок, відстані яких від двох даних прямих знаходяться в даному відношенні m: n, утворюється двома прямими лініями х і у, що проходять через точку перетину даних прямих (фіг. б).
h) Геометричне місце точок, квадрати відстаней яких від двох даних точок А і В зберігають постійну різницю d 2 , є пряма, перпендикулярна до відрізку АВ.
В
Фіг. 6 Фіг.7
Доказ: Нехай точка Р 1 (фіг. 7) володіє зазначеним властивістю, так що
В
Якщо опустити з точки P 1 на АВ перпендикуляр і взяти на ньому довільну точку Р 1 то
В
З h) може бути виведено наслідок, яке пізніше для нас буде важливо. Ми лише предпошлем йому коротке зауваження:
а) Як відомо, справедливо наступне речення: "Якщо через точку Р (фіг. 8а, 8 Ь ) провести січні до кола, то постійно
РА . РА '= РВ.РВ' = ... "br/>
Его постійне твір називається ступенем точки Р відносно даної кола; ступінь дорівнює d 2 - r 2 , де d є відстань точки Р від центру (центральне відстань точки Р), r є радіус кола.
В
Фіг. 8а Фіг. 8б
Якщо точка Р лежить поз...
