о n - кутника за допомогою циркуля і лінійки можливо тоді і тільки тоді, коли (числа Ферма).
Розглянемо кілька окремих випадків:
В
рівняння поділу кола.
Нехай, (якщо побудовано, то також можна побудувати
В
Отже, правильний п'ятикутник можна побудувати циркулем і лінійкою.
Підставами: br/>В
Будуємо , Потім Повторюючи дугу АВ 3 рази, отримаємо всі точки.
Побудови іншими інструментами
1. Побудови одним циркулем . У багатьох випадках побудови, що проводяться циркулем, виявляються точніше, ніж побудови, що проводяться лінійкою.
Італійська навчань Л. Маськероні (1750-1800) і датський вчений Г.Мор (1640-1697) досліджували конструктивні можливості циркуля і довели наступну теорему.
Теорема (Мора-Маськероні). Будь-яка геометрична задача на побудову фігури з кінцевого числа точок, розв'язна циркулем і лінійкою може бути вирішена за наявності тільки циркуля.
Пояснення: 1) мається на увазі, що фігура складається з кінцевого числа точок, кіл, відрізків, променів прямих, 2) циркулем звичайно, не можна побудувати пряму, відрізок, промінь, тут мається на увазі, що циркулем можна зробити їх відомими (пряма відома, якщо відомі дві її точки; відрізок відомий, якщо відомі два його кінця; промінь відомий, якщо відома початкова точка і крапка, через яку проходить промінь).
Доказ опускаємо.
2. Побудови однієї лінійкою . p> Побудови однієї лінійкою виключно обмежені. Наприклад, відрізок не можна розділити навпіл. Але якщо на площині задана окружність, можливості збільшуються. p> Справедлива теорема. Всяка геометрична задача на побудову фігури, що складається з кінцевого числа точок, розв'язна циркулем і лінійкою, може бути вирішена однією лінійкою, якщо на площині побудована коло і відзначений її центр (тобто волі скористатися циркулем один раз). Це теорема Штейнера, іноді називають її теоремою Понселе-Штейнера.
3. Побудови двосторонньої лінійкою
Приклад. Розділити даний кут навпіл. br/>В
Проводимо паралелі, ОС - бісектриса
Виявляється, справедлива теорема
Всякая геометрична фігура, що складається з кінцевого числа точок, яка може бути побудована циркулем і лінійкою, може бути побудована тільки двосторонньої лінійкою.
4. Побудови за допомогою прямого кута.
Приклад. Побудувати центр накресленої окружності. Всяка геометрична фігура, що складається з кінцевого числа точок, яка може бути побудована циркулем і лінійкою, може бути побудована тільки прямим кутом. Це ж вірно для будь-якого кута. <В
Приклад 2. Дан О”АВС; потрібно побудувати три кола так, щоб кожна з них стосувалася двох інших кіл і двох сторін трикутника (задача Мальфатті). Вважаємо завдання вирішеною (фіг. 1). Нехай точка О буде центром вписаною в трикутник кола (радіуса r). Радіуси кіл К і L позначимо відповідно через r 1 і r 2 . З точок К, О, L опустимо перпендикуляри на бік АВ і таким шляхом побудуємо точки D, Е, F. Покладемо AE = s, BE = t, AD = x, BF = y. br/>В
Фіг. 2
Якщо ми проведемо KG | | AB, то
LG = r 2 - r 1 і KG =
З подібності 7) трикутників ADK і AEO випливає, що
В
аналогічно цього і, що випливає з подібності трикутників BFL і ВЕО.
AB = AD + DF + FB,
отже:
=
або (Підставляючи замість r 1 і r 2 отримані для них вирази)
= (1)
Якщо опустимо з точок L, М, О перпендикуляри на бік НД і покладемо РС = і і QC = z, то вийде рівність
2) = t + u;
аналогічно ми отримаємо рівність і для третьої сторони:
3) = u + s.
Таким чином, ми маємо три рівняння для визначення трьох невідомих х, у, z.
Мальфатті повідомляє вирішення цих трьох рівнянь,:
В
Якщо підставити ці значення в вищенаведені рівняння, то вони задовольнять останнім. Шлях, яким Мальфатті знайшов рішення, надзвичайно складний, як він сам вказує.
Геометричне ж побудова величин х, у, z представляється надзвичайно простим, бо
В
внаслідок чого відрізки ці, так само як і відрізки s, t, r, u, r, легко можуть бути побудовані.
Якщо ж тепер побудувати вираз
В
x = ОА - m, у = ОБ - m,
z = OC - m (фіг. 2).
Приклад 3. Дано три кола K 1 , K 2 , До 3 , яких центри лежать на одній прямій; радіус кожній з кіл До 1 , До 2 дорівнює r 2 . Останні дві окружності мають одне і те ж центральне відстань а від кола До 1 {r 1 ). Потрібно побудувати всі кола, які стосуються трьох даних (Фіг. 3). br/>В
Фіг.3.
...
