а кола, то ступінь точки також дорівнює РТ 2 .
ОІ) Якщо дано дві окружності з центрами Про 1 і О 2 , то точка Р має певну ступінь по відношенню до кожної з них. Якщо ж точка Р по відношенню до обох окружностях (з радіусами r 1 і r 2 ) має одну і ту ж ступінь, то
В
так що
В
отже, геометричне місце точок, які мають одну і ту ж ступінь стосовно обох кіл, є (згідно h) пряма, перпендикулярна до лінії центрів цих кіл; пряма мл називається радикальної віссю обох кіл.
Якщо окружності перетинаються, то їх радикальна вісь проходить через точки їх перетину, бо кожна з точок перетину має щодо обох кіл ступінь, рівну нулю.
Якщо ж кола не перетинаються, то радикальну вісь можна побудувати (фіг. 9), опустивши перпендикуляр на лінію центрів з середини загальної дотичній до обох окружностях; можна при цьому слідувати і іншому шляху, користуючись теоремою: "Якщо дано на площині три кола, то визначаються ними три радикальні осі проходять через одну і ту ж точку (радикальний центр трьох кіл) "; доказ теореми грунтується на тому міркуванні, що точка перетину двох-яких радикальних осей має одну і ту ж ступінь щодо всіх трьох кіл, отже, лежить на третій радикальної осі.
В
Фіг. 9
3. Ми роз'яснимо метод геометричних місць на двох прикладах:
а) Дано дві окружності Про 1 , Про 2 радіусів r 1 і r 2 . p> Потрібен побудувати таку окружність До 1 яка стосувалася б обох даних кіл і мала б даний радіус r.
Якщо відкинути вимога, щоб окружність До стосувалася кола Про 2 , то шуканих кіл існує незліченна безліч; геометричне місце їх центрів складається з двох концентричних з Про 1 кіл, радіуси яких відповідно рівні r 1 + r і r 1 - r. Аналогічно ми отримаємо для шуканого центру X і інше геометричне місце, складається з двох кіл, описаних з точки О 2 , як з центру, радіусами
Точка X повинна збігтися з однією з точок перетину обох геометричних місць; існує не більше восьми точок, задовольняють вимогам завдання.
ОІ) Дано три кола K 1 , До 2 , До 3 ; потрібно побудувати всі кола, що стосуються трьох даних (Аполлоніева завдання про торкання).
Якщо (Фіг. 10) через центр однієї з даних трьох кіл, наприклад, через центр окружності/С3, провести коло, концентричну з шуканої X, то виявиться, що згадана вище завдання зведеться до наступного:
Дано дві окружності До 1 , До 2 і крапка Р; потрібно побудувати окружності, що стосуються двох даних і проходять через точку Р.
В
Фіг. 10
Геометричне місце центрів всіх кіл, які стосуються кола До 1 і проходять через точку Р, є еліпс або гіпербола, залежно від того, чи лежить Р всередині кола До 1 або поза нею.
Центр окружності До 1 і крапка Р є фокусами цих конічних перетинів; асимптоти гіперболи перпендикулярні до дотичних, які можна провести до кола До 1 з точки Р.
Кожна з даних трьох кіл може звестися і до однієї точки або перейти в пряму. Геометричне місце центрів кіл, які стосуються прямий l і проходять через точку Р, є парабола, що має пряму l своєї директоркою, а фокус - у точці Р.
В
Варіант 15
1. Побудувати трикутник О”АВС по а, з-b,
2. Побудувати трапецію по відношенню бічних сторін, куту між ними і двома підставами.
3. Дано пряма МN і точки A і В в одній півплощині відносно прямої MN. Поcтроіть на прямий МN точку X таку, що
.
4. Вписати в даний чотирикутник паралелограм так, щоб його центр збігся c даної крапкою.
5. У даному колі через дану всередині його точку А провести хорду так, щоб вона в точці А розділилася в відношенні m: n.
6. Побудувати трикутник з даними відношенням сторін довжин бісектриси і медіани, проведених з однієї вершини.
7. Побудувати прямокутної трикутник по радіусах описаного кола R і вписаною окружності r. p> 8. На пріведeнних нижче кресленнях дано схематичне рішення чотирьох завдань на, побудова. Сформулювати ці завдання і дати їх повне рішення.
1)
В
2)
В
3)
В
4)
В
9. Побудувати ромб, знаючи його бік а й ставлення діагоналей р: q, де p і q задані отрeзкі. Вирішити завдання двома способами. p> 10. Розглядаються всілякі трикутники c даними підставою a, кут при вершині яких дорівнює П†. Знайти безліч точок перетину медіан
