вольняють основним вимогам оптимальності за Парето, анонімності і монотонності: множина переможців за Коплендом, множина переможців за Сімпсоном і дерево багатоетапного виключення. Перші два нейтральні, але можуть виділяти кілька переможців (додаткове правило при рівності очок порушить нейтральність). Зауважимо, що переможець при багатоетапному виключення знаходиться швидше, оскільки алгоритм (12) у середньому потребує порівнянні не більше половини від усіх p (pl) пар. У той же час для визначення переможців за Коплендом і Симпсону потрібно провести весь турнір порівнянь за правилом більшості.
В
3. Математичні методи розв'язання
У попередньому розділі були описані методи підрахунку очок і основні вимоги до них. Порівняємо ці методи. Як було зазначено, найлегшим серед них, а й найгіршим, є правило відносної більшості. Можна переконатися, що в дійсності воно суперечить думці більшості. Тому воно не може бути вибрано для комп'ютерної реалізації. Як Борда, так і Кондорсе помітили, що правило відносної більшості може призводити до обрання поганого кандидата, точніше такого кандидата, що у парному порівнянні за правилом більшості програє будь-якому іншому кандидату.
Для того, щоб перебороти цю ваду, Кондорсе і Борді запропонували відмовитися від правила відносної більшості, причому кожний з них запропонував своє правило замість даного. Кондорсе запропонував вибирати кандидата, який перемагає будь-якого іншого кандидата в парному порівнянні, якщо такий переможець за Кондорсе існує. Борді запропонував приписати очко кожному кандидату, який лінійно зростає в залежності від його рангу в перевазі виборця. Потім він запропонував обрати кандидата, який отримав найбільшу сумарну кількість балів у всіх виборців. Ці дві ідеї породжують два найбільше важливих сімейств правил голосування.
Результати цих правил голосування можуть сильно відрізнятися за властивостями. Одним з таких властивостей є аксіома монотонності. Правило голосування називається монотонним, якщо кандидат залишається обраним при посиленні його підтримки (тобто коли відносна позиція даного кандидата у чиїхось перевагах поліпшується, а відносні позиції інших кандидатів не змінюються). Всі методи підрахунку вічок являю ться монотонними, але деякі відомі методи, що виникають з підрахунку очок, не є такими. Прикладами таких правил служить дуже популярне правило відносної більшості з вибуванням і метод альтернативних голосів.
Є дві аксіоми, що призводять до критики заможних за Кондорсе правил (Оскільки дані правила порушують ці аксіоми). З іншого боку, на цих аксіомах заснована характеризація методу підрахунку очок. Ці аксіоми порівнюють кандидатів, обраних різноманітними групами виборців. Вони називаються властивостями поповнення й участі. Поповнення означає, що якщо дві групи виборців, які не перетинаються, (наприклад, сенат і палата представників) обирають того самого кандидата а, то об'єднанн...
