містить ще одну точку цього ж множини. Доведіть, що тоді всі дані точки лежать на одній окружності.Решеніе
4. Доведіть, що для будь-яких двох непересічних кіл w1 і w2 знайдеться інверсія, яка переведе їх у концентричні кола w1 Вў і w2 Вў. Рішення
5. Дано дві непересічні окружності w і w Вў, причому w лежить всередині w Вў. Окружність w1, одночасно стосується w і w Вў, має властивість Штейнера, якщо знайдеться така ланцюжок кіл w1, ..., wn, що стосуються w і w Вў і таких, що wi стосується wi +1 для i
6. Вивести формулу Герона-Архімеда для обчислення площі трикутника ABC: S2DABC = p (pa) (pb) (pc) (позначення з леми 1 останнього параграфа). Рішення
7. Довести, що точка перетину медіан DABC, ортоцентр і центр описаного навколо DABC окружності лежать на одній прямій (пряма Ейлера). Рішення
8. Доведіть, що центр кола Ейлера лежить на прямий Ейлера. Рішення
Вказівки до вирішення завдань
1. Виходячи на полювання, варто озброїтися властивістю II інверсії. p> 2. Позначимо через di, j, k відстань від точки Ai до прямої (AjAk), що проходить через точки Aj і Ak даної множини. Припустимо гидке і, наприклад, d1, 2,3 - мінімальне ненульове число серед di, j, k. На прямій (A2A3) знайдіть точку Aj та отримайте протиріччя з мінімальними d1, 2,3. p> 3. Зробіть інверсію з центром в одній з точок даної множини і скористайтеся властивістю VIII і теоремою Сильвестра. p> 4. Доведіть спочатку (наприклад, координатним методом), що для будь-яких двох неконцентричні кіл w1 і w2 геометричним безліччю точок площини, відрізки дотичних з яких до w1 і w2 дорівнюють між собою, є пряма (радикальна вісь кіл w1 і w2). Нехай тепер a - радикальна вісь кіл w1 і w2 з центрами O1 і O2 відповідно і X - точка перетину прямих a і (O1O2). Побудуємо коло w3 з центром в X і радіусом рівним відрізку дотичної з точки X до w1. Тоді w3 ^ w1 і w3 ^ w2. Позначимо через O одну з точок перетину w3 с (O1O2). Доведіть тепер, що O - центр шуканої інверсії (використовуйте лему 2 і властивості VI і IX). p> 5. Переведіть підходящої інверсією окружності w і w Вў в концентричні кола. p> 6. Слід перемножити три рівності: 5, 6 (лема 1) і рівність p = p. p> 7. При гомотетии з центром в точці перетину медіан і коефіцієнтом -1/2 ортоцентр трикутника ABC перейде в ортоцентр трикутника A Вў B Вў C Вў, складеного з середніх ліній вихідного трикутника. Залишилося помітити, що ортоцентр DA Вў B Вў C Вў збігається з центром кола, описаного навколо DABC. До речі, коефіцієнт гомотетии одночасно вказує на ставлення, в якому точка перетину медіан ділить відрізок, з'єднує ортоцентр з центром описаного кола DABC. p> 8. Доведіть спочатку (використовуючи властивості середніх ліній),...
