Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти
«Магнітогорський державний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Курсова робота
Чудові точки трикутника
Виконала: студентка 41 групи
Вахрамєєва А.М
Науковий керівник
Великих А.С
Магнітогорськ +2014
Введення
Історично геометрія починалася з трикутника, тому ось уже два з половиною тисячоліття трикутник є як би символом геометрії; але він не тільки символ, він - атом геометрії.
Чому саме трикутник можна вважати атомом геометрії? Тому що попередні поняття - точка, пряма і кут - це неясні і невловимі абстракції разом зі пов'язаним з ними набором теорем і завдань. Тому сьогодні шкільна геометрія тільки тоді може стати цікавою і змістовною, тільки тоді може стати власне геометрією, коли в ній з'являється глибоке і всебічне вивчення трикутника.
Дивно, але трикутник, незважаючи на свою уявну простоту, є невичерпним об'єктом вивчення - ніхто навіть у наш час не наважиться сказати, що вивчив і знає всі властивості трикутника.
Значить, вивчення шкільної геометрії не може здійснюватися без глибокого вивчення геометрії трикутника; зважаючи на різноманіття трикутника як об'єкта вивчення - а, значить, і джерела різних методик його вивчення - необхідно підбирати і розробляти матеріал для вивчення геометрії чудових точок трикутника. Причому при підборі цього матеріалу не слід обмежуватися лише чудовими точками, передбаченими в шкільній програмі Державним освітнім стандартом, такими як центр вписаного кола (точка перетину бісектрис), центр описаного кола (точка перетину серединних перпендикулярів), точка перетину медіан, точка перетину висот. Але для глибокого проникнення в природу трикутника і осягнення його невичерпності необхідно мати уявлення якомога про більшу кількість чудових точок трикутника. Крім невичерпності трикутника як геометричного об'єкта, необхідно відзначити найдивовижніше властивість трикутника як об'єкта вивчення: вивчення геометрії трикутника можна починати з вивчення будь його властивості, взявши його за основу; потім методику вивчення трикутника можна побудувати так, щоб на цю основу нанизувати всі інші властивості трикутника. Іншими словами, з чого б не починати вивчення трикутника, завжди можна дійти до будь-яких глибин цієї дивовижної фігури. Але тоді - як варіант - можна починати вивчення трикутника з вивчення його чудових точок.
Мета курсової роботи полягає у вивченні чудових точок трикутника. Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні завдання:
· Вивчити поняття бісектриси, медіани, висоти, серединного перпендикуляра та їх властивості.
· Розглянути точка жергонна, окружність Ейлера і пряму Ейлера, що не вивчаються в школі.
РОЗДІЛ 1. Бісектриса трикутника, центр вписаного кола трикутника. Властивості бісектриси трикутника. Точка жергонна
. 1 Центр вписаного кола трикутника
Чудові точки трикутника - точки, місце розташування яких однозначно визначається трикутником і не залежить від того, в якому порядку беруться сторони і вершини трикутника.
Биссектрисой трикутника називається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні.
Теорема. Кожна точка бісектриси неразвернутого кута рівновіддалена (тобто рівновіддалена від прямих, що містять сторони трикутника) від його сторін. Зворотно: кожна точка, що лежить всередині кута і рівновіддалена від сторін кута, лежить на його бісектрисі.
Доказ. 1) Візьмемо довільну точку М на бісектрисі кута ВАС, проведемо перпендикуляри МК і МL до прямих АВ і АС і доведемо, що МК=МL. Розглянемо прямокутні трикутники? АМК і? АМL. Вони рівні по гіпотенузі і гострому куту (АМ - загальна гіпотенуза, 1=2 за умовою). Отже, МК=МL.
) Нехай точка М лежить всередині ВАС і рівновіддалена від його сторін АВ і АС. Доведемо, що промінь АМ - бісектриса ВАС. Проведемо перпендикуляри МК і МL до прямих АВ і АС. Прямокутні трикутники АКМ і АLM рівні по гіпотенузі та катетом (АМ - загальна гіпотенуза, МК=МL за умовою). Отже, 1=2. Але це і означає, що промінь АМ - бісектриса ВАС. Теорема доведена.
Слідство. Бісектриси трикутник...
