сом r (t) і представлятиме собою закон руху лінії кордону краплі a (t):
=a (t) (3.1)
Радіус кола самочинного плями r і динамічний кут змочування? d однозначно визначають радіус сферичного сектора R, верхньою частиною якого є поверхня розтікається краплі, що представляє собою сферичний сегмент сфери радіуса R (рис. 15).
Рис. 15. Розтікається крапля як сферичний сегмент і відповідний йому сферичний сектор.
Обсяг сферичного сегмента розраховується за формулою
(3.2)
Де h=R-h, h=Rcos? d. Підставляючи ці вирази в (3.2), отримуємо
(3.3)
Таким чином, використовуючи формулу (3.3) для об'єму V сферичного сегмента і враховуючи, що r=Rsin? d, а також співвідношення (3.1), можна записати
a3=(3V /?) * ((1 + cos? d) 2 / (sin? d (2 + cos? d))) (3.4)
Для розрахунку закону руху межі краплі r=a (t) застосуємо закон Таннера у вигляді
(? d2 -? e2)? d =? * Da / d?,? =Const,
Тут похідна da / d? визначає швидкість переміщення лінії трифазного контакту a (?),? =? T / 2? A0 - безрозмірний час, a0 - характерний розмір краплі (для краплі сферичної форми a0=(3V / 4?) 1/3),?- Поверхневий натяг,?- Динамічна в'язкість.
Якщо прийняти, що? d << 1, то формула для обсягу спрощується:
3=4V /?? d. (3.5)
Диференціюючи останнє співвідношення за часом, отримуємо
=- () 1/3? d4 / 3
Застосовуючи потім закон Таннера, отримаємо
=- () 1/3? d13 / 3 (1 -? e2 /? d2)?- 1
Після розділення змінних
() 1/3? d - 13/3? (1 -? e2 /? d2) - 1d? d=d?
Інтегруючи далі, отримаємо
(3.6)
де? 0 - постійна інтегрування, що задається початковими умовами. В силу вихідних припущень вважаємо, що? >> ? 0, а початкові умови такі, що? 0=0.
Зі співвідношення (3.6) видно, що можливі два граничних асимптотических закону розтікання краплі.
1)? d2 >> ? e2.
У згоді із заданим умовою нехтуємо в правій частині виразом? e2 /? d2 << 1,
тобто 1 -? e2 /? d2? 1. Інтегруючи з урахуванням перетворення ліву частину рівності (3.6), висловлюючи з отриманого результату? d і підставляючи його в (3.5) отримаємо вираз для закону розтікання краплі (в розмірному вигляді):
a (t)=1,86?- 1a00, 9 (? T /?) 1/10 (3.7)
Тобто в цьому випадку виконується закон «», широко який підтверджується експериментально.
2)? d? ? e.
Даний етап є етапом закінчення процесу розтікання. У цьому випадку? d? ? e, і інтеграл в лівій частині рівності (3.5) обчислюється?? Ледующім чином:
Висловлюємо з отриманого результату? d і підставляємо його в (3.5). Відповідно, на даному етапі закон розтікання краплі має вигляд (у розмірному вигляді):
a (t)=() 1/3 a0 [? e (1 + exp (-?? t /?))] - 1/3, (3.8)
де? =? E10 / 3 (2/3) 1/3 (4? A0) - 1.
Аналізуючи характер розтікання на завершальному етапі, приходимо до висновку, що, як і очікувалося, ширина кордону краплі обмежена кінцевою величиною am=() 1/3a0, яка визначається рівноважним крайовим кутом? e.
