тримаємо
- а =+.
Оскільки послідовність - зростаюча, то різниці, К=N, N +1 , ..., n - 1 , ... позитивні. Тому з останнього співвідношення маємо:
? + (1)
Тепер доведемо, що послідовність сходиться і має межу а. Для цього достатньо довести, що для будь-якого позитивного? можна вказати номер N такий, що при n? N , виконується нерівність < ?. За даним? > 0 виберемо номер N так, щоб при n? N виконується нерівність < (Це можливо, оскільки послідовність нескінченно мала). Далі, виберемо номер N? N так, щоб при n? N виконувалася нерівність < ?. Такий вибір номера N можливий, оскільки число фіксоване, а послідовність - нескінченно велика послідовність, і тому послідовність - нескінченно мала.
Нехай тепер n? N. З нерівності (1) маємо
< , Або < .
Так як при n? N, < і> 0, то? 1. Тому, при n? N з останнього нерівності маємо < ?. Що й потрібно було довести.
Зауваження. Якщо - зростаюча нескінченно велика послідовність, а послідовність також нескінченно велика і прагне до нескінченності певного знака, то послідовність нескінченно велика.
Глава II. Практичне додаток границі послідовності, властивостей межі, теореми Штольца
.1 Приклади обчислення границі послідовності
числовий послідовність межа Штольц
Приклад 1. Довести, що =.
Рішення. Розглянемо послідовність an =-. Маємо
an ==.
Оскільки an =- нескінченно мала послідовність. Це означає, що
=.
Відповідь: =.
Приклад 2. Обчислити межа.
Рішення.
=
===.
Відповідь: =.
Приклад 3. Обчислити межа =,
Рішення.
=== при ділимо на n найвищою мірою, тобто
=== 2.
Відповідь: =2.
Приклад 4. Обчислити межа =.
Рішення.
====
== 0.
Відповідь: =0.
Приклад 5. Обчислити межа =.
Рішення.
===
===.
Відповідь: =.
Приклад 6. Обчислити межа послідовності.
Рішення.
Розділимо чисельник і знаменник на, отримуємо
=.
Межа чисельника дорівнює 2, а знаменник нескінченно малий. Отже,
=?.
Відповідь: =?.
Правило. Якщо загальний член послідовності є алгебраїчною дробом від n, тобто якщо
то :) при k=m маємо: ) при k < m маємо: ) при k> m маємо:
Приклад 7. Обчислити межа послідовності:.
Рішення.
Використовуючи дані з прикладу 10, укладаємо
=,
зробивши віднімання дробів, отримаємо
.
Зауважимо,
